有一公式 a^n-1=(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+……+a+1] 以此公式推导 [(1+x)^(1/n)-1]/(x/n) =n[(1+x)^(1/n)-1]/x (*) 将分子、分母同乘以 (1+x)^[(n-1)/n]+(1+x)^[(n-2)/n]+……(1+x)^(1/n)]+1(**) (*)式分子=n[(1+x)-1]=nx (*)式分母→nx(∵x→0,∴(**)→n) 所以[(1+x)^(1/n)-1]/(x/n)=n[(1+x)^(1/n)-1]/x→nx/nx=1 所以[(1+x)^(1/n)-1]～x/n
以下t^n表示t的n次方,(1+x)^(1/n)表示1+x的和的1/n次方(即n次算术根)。 证明:令(1+x)^(1/n)-1=t,则x→0时t→0,x=(1+t)^n-1。 lim(x→0)((x/n)/((1+x)^(1/n)-1)) =lim(t→0)(((1+t)^n-1)/nt) =lim(t→0)(C(n,1)+C(n,2)t+C(n,3)t^2+......+C(n,n)t^(n-1))/n =n/n=1 原结论得证。 这里C(n,m)表示组合数,C(n,m)=n!/m!(n-m)!
答：原题目:n是正整数,当x→0时,1+x的和的n次算术根与1的差和x/n是等价无穷小量。注:以下(1+x)^(1/n)表示1+x的和的1/n次方,即1+x的和的n...详情>>
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