高二数学 圆锥曲线的综合应用
已知椭圆C₁:y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)的右顶点为A（1，0）过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1. 求：设点P在抛物线C₂：y=x²+h(h∈R)上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。
唉，人心不古啊
椭圆C₁:y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)的右顶点为A（1，0）， ∴b=1, 过C₁的焦点(0,c)且垂直长轴的弦长2/a=1, ∴a=2。 抛物线C₂：y=x²+h(h∈R)上，C₂在点P(x1,x1^2+h)处的切线 y-(x1^2+h)=2x1(x-x1), 即y=2x1x1+h-x1^2， 代入C1:y^2/4+x^2=1,化简得 4（x1^2+1）x^2+4x1(h-x1^2)x+(h-x1^2)^2-4=0, △/16=x1^2*(h-x1^2)^2-(x1^2+1)[(h-x1^2)^2-4] =-x1^4+(4+2h)x1^2-h^2>0, x1存在，∴△1=（4+2h)^2-4h^2=16(h+1)>0,h>-1,① 由AP的中点与MN的中点的横坐标相等，得 1+x1=-x1(h-x1^2)/(x1^2+1), 化简得x1^2+(h+1)x1+1=0， x1存在, ∴△2=h^2+2h-3>=0，h=1，② 求①、②的交集得h>=1。
h=1时x1=-1。 ∴h的最小值=1。 。
问：数学问题在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为根号2，短轴长的平方是焦距的两倍，该椭圆的离心率为多少。
答：假设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 它的焦点是F（+'-c,0) 令x=c,代入椭圆方程，y=+'-(b/a)√(a^2-c^2)=+'-b^2/a...详情>>
