立体几何
在底面是菱形的四棱锥P—ABCD，角ABC=60度,PA=AC=a，PB=PD=根号2倍的a，点E在PD上，PE：ED=2：1 （1）证明：PA垂直平面ABCD （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小
ABCD是菱形，角ABC=60度，AC=a 所以菱形ABCD的边长为a PA^2+AB^2=2a^2=PB^2, 所以角PAB等于90度,PA垂直AB PA^2+AD^2=2a^2=PA^2 所以角PAD等于90度，PA垂直AD 所以PA垂直面ABCD 连接BD，过E作EF//PA交AD于F,过F做FG//BD交AC于G 因为PA垂直面ABCD 所以EF垂直面ABCD 棱形ABCD，所以BD垂直AC， 又因为FG//BD 所以FG垂直AC 所以角EGF为所求二面角 E为PD三分点，EF//PA 所以EF=PA/3=a/3,F为AD的三分点 又因为BD//FG 所以FG=(BD/2)2/3 棱形ABCD中BD=根号3倍a， 所以FG=3分之根号3倍a 所以tan角EGF=EF/FG=3分之根号3=30度 所以所求二面角等于30度
1)证明: ABCD是菱形∠ABC=π/3 ===>△ABC,△ADC都是等边△ ==>AB=AD=a PA=a ,PD=PB=(√2)a ===>△PAB,△PAD都是直角△ ===>PA⊥AB;PA⊥AD ==>PA⊥平面ABCD 2)做EF//PA交AD于F==>EF也垂直平面ABCD , 做FG⊥AC,交AC于G,连接GE ,则FG是GE在DAC的射影 ==>∠EGF为所求二面角 PE：ED=2：1 ===>EF:PA=1:3 ;AF:AD=2:3 ==>EF=PA/3=a/3 做DO垂直AC,则DO//FG ==>FG:DO=AF:AD=2:3 显然,DO =(√3)a/2 ==>EG = (√3)a/3 tan∠EGF =EF/EG =(√3)/3 ==>∠EGF =π/6
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