直线y=ax+1和双曲线3x²-y²=1相交于A,B两点.问a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点 直线和双曲线方程联立：3x²-(ax+1)²=1--->(3-a²)x²-2ax-2=0 --->xAxB=-2/(3-a²), xA+xB=2a/(3-a²)=-a(xAxB) --->yAyB=(axA+1)(axB+1)=a²xAxB+a(xA+xB)+1=1 以AB为直径的圆过坐标原点--->OA⊥OB--->xAxB+yAyB=0 --->xAxB=-2/(3-a²)=-1--->a²=1--->a=±1
∵ 以AB为直径的圆过坐标原点, ∴ OA⊥OB, 把y=ax+1代入3x^-y^=1,得(3-a^)x^-2ax-2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a/(3-a^), x1x2=-2/(3-a^)…(*), ∵ OA⊥OB, ∴ x1x2+y1y2=0, 而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=, ∴ x1x2+y1y2=(a^+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,把(*)式代入,的a^=1, ∴ a=±1
直线y=ax+1带入双曲线3x^2-y^2=1得到： 3x^2-(ax+1)^2=1 整理得： (3-a^2)x^2-2ax-2=0 于是根据韦达定理得到： x1+x2=2a/(3-a^2) x1x2=-2/(3-a^2) 可见AB中点，也就是圆心的x坐标为：（x1+x2）/2=a/(3-a^2) (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=[4a^2+8(3-a^2)]/(3-a^2)^2=(24-4a^2)/(3-a^2)^2 再根据y=ax+1得到圆心的y坐标为（y1+y2）/2=（ax1+ax2+2）/2=3/(3-a^2) (y1-y2)^2=a^2*(x1-x2)^2=a^2*(24-4a^2)/(3-a^2)^2 先看圆心（a/(3-a^2)，3/(3-a^2)）到原点的距离的平方为：(a^2+9)/(3-a^2)^2 又有 |AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+a^2)(24-4a^2)/(3-a^2)^2 如果该圆过原点，必然有圆心到原点的距离为半径，又因为AB为直径，所以： (a^2+9)/(3-a^2)^2 *4=(1+a^2)(24-4a^2)/(3-a^2)^2 a^2+9 =(1+a^2)(6-a^2) a^4-4a^2+3=0 (a^2-1)(a^2-3)=0 于是有a=-1、1、根号3、-根号3 再进行验证 发现 根号3、-根号3不成立(圆心不存在)， 于是有a=-1或者1 西门吹雪的答案为另一种方法，更为简洁。
答：详情>>
