函数题
设函数f(x)满足:对任意x属于R,都有f(x+1)=af(x)成立,其中a是大于0的常数 1.若当x属于(0,1]时,f(x)=x,试讨论f(x)的奇偶性 2.若当x属于(0,1]时,f(x)=2^x+2^(-x),求在区间(n,n+1],n为正整数上的解析式 3.试研究中所述函数f(x)在(0,正无穷)上是否可能是单调函数?若可能,指出a的取值范围;若不能,请说明理由
设函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)=af(x)成立,其中常数a＞0 1。若当x∈(0,1]时,f(x)=x,试讨论f(x)的奇偶性 2。若当x∈(0,1]时,f(x)=2^x+2^(-x),求在区间(n,n+1],n∈N上的解析式 3。
试研究(2)中所述函数f(x)在(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,指出a的取值范围;若不能,请说明理由 1、 f(1)=1=af(0)--->f(0)=1/a=af(-1)--->f(-1)=1/a^ > 0 显然：f(-1)≠-1=-f(x), 即：f(x)不是奇函数 同时：a≠1时，f(-1)≠f(1), 即：f(x)不是偶函数 而：a=1时，f(x+1)=f(x)=f(x-1)=。
。。 x∈(0,1]时：f(x)=x f(-x)=f(-x+1)=1-x不恒等于f(x) 即：f(x)也不是偶函数 综上：f(x)是非奇非偶函数 2、x∈(0,1]，即n=0时, f(x)=2^x+2^(-x) --->x∈(n,n+1]时，x-n∈(0,1]--->f(x-n)=2^(x-n)+2^(n-x) f(x)=af(x-1)=a^*f(x-2)=a^3*f(x-3)=。
。。 =a^n*f(x-n) =a^n*[2^(x-n)+2^(n-x)] 3、事实上，f(x)是一个分段函数，x∈(n,n+1]，n∈N时, f(x)=a^n*[2^(x-n)+2^(n-x)]是增函数（楼上已证，略） 要使f(x)为单调(增)函数，必须满足： 对于任一区间(n,n+1]上的最大值f(n+1), 必须不大于下一个区间[n+1,n+2]上的最小值f(n+1)，即： a^n*[2^(n+1-n)+2^(n-n-1)] ≤ a^(n+1)*[2^(n+1-n-1)+2^(n+1-n-1)] --->2^1+2^(-1) ≤ a*(2^0+2^0) --->a≥5/4 --->a≥5/4时，f(x)是单调增函数。
如图：粉、红、绿色分别是f(x)在a=3/2、a=5/4、a=9/8时的图像。
