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初中平面几何

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初中平面几何

已知 ABCD是圆内接四边形,AB与CD交于E,BC与DA交于F,∠BEC与∠DFC的角平分线交于G。求证: EG^2+FG^2=EF^2。

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  • 2009-05-26 07:17:14
    证明 设EG与DA交于L,FG与AB交于N。
    因为四边形ABCD有外接圆,则∠ABC+∠CDA=180°
    因为EG,FG分别是∠BEC与∠DFC的角平分线,所以
    ∠AFG=∠AFB/2=(180°-∠DAB-∠ABC)/2
    ∠AEG=∠BEC/2=(180°-∠BAD-∠ABC)/2
    故∠AFG+∠AEG=90°-∠ABC
    以而∠EGF=180°-∠AFG-∠DLG=180°-∠AFG -[∠AEG+(180°-∠ADC)]
    =∠ADC-∠AFG-∠AEG=∠ABC+∠ADC-90°=90°.
    所以在RtΔEGF中,由勾股定理即得: 
    EG^2+FG^2=EF^2。
    

    苏***

    2009-05-26 07:17:14

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