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初中几何题

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初中几何题

已知 ABCD是圆内接四边形,AB与DC交于E,AD与BC交于F,PE、QF是切线,P,Q是切点。
求证 PE^2+QF^2=EF^2.

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  • 2010-04-23 21:26:30
    证明:FQ,EP均为圆的切线,则:PE^2=EC*ED;QF^2=FC*FB.
    在EF上取点G,使∠3=∠2;则∠2+∠CGE=∠3+∠CGE=180°.
    ∴C,G,E,B四点共圆,则有:FC*FB=FG*FE,QF^2=FG*FE(1);
    又∠2=∠1,则∠3=∠1.故∠3+∠FDC=∠1+∠FDC=180°.
    ∴D,F,G,C四点共圆,则有:EC*ED=EG*EF,PE^2=EG*EF(2).
    (1)+(2)得:PE^2+QF^2=EG*EF+FG*FE=EF*(EG+FG)=EF^2.
    即PE^2+QF^2=EF^2.

    温***

    2010-04-23 21:26:30

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