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周长为L(定值)的直角三角形面积的最大值是多少?

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  • 2005-08-09 08:53:11
    假设直角三角形的边长是a、b、c,则a/c=sinA;b/c=cosA--->a=csinA;b=ccosA,并且a+b+c=L--->c=L/(1+sinA+cosA).
    S=ab/2=c^2*sinAcosA/2=L^2/2*sinAcosA/(1+sinA+cosA)^2
    假设x=sinA+cosA--->x^2=1+2sinAcosA--->sinAcosA=(x^2-1)/2
    因为x=sinA+cosA=√2sin(A+Pi/4)--->0S=L^2/2*[(x^2-1)/2]/(1+x)^2
    =L^2/4*(x-1)/(x+1)=L^2/4*[1-2/(x+1)]
    011/(√2+1)=-2/(x+1)=1-2/(x+1)=<2√2-1.当仅当x=2就是A=Pi/4时,等号成立。所以在三角形是等腰直角三角形时面积最大,为(2√2-1)/4*L^2.

    y***

    2005-08-09 08:53:11

其他答案

    2005-08-09 09:30:45
  • 周长为L(定值)的面积的最大值是多少?
    解:设直角三角形ABC中,其斜边为2R
    所以其三边长为:2RsinA ,2RcosA,2R
       L=2RsinA +2RcosA+2R
       S(三角形的面积)=2R*RsinAcosA
      令t=sinA +cosA    ( 1
    		                
    		            

    沧***

    2005-08-09 09:30:45

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