解法一：
x∈(0，π/2)，即0
上式取等号，得所求最小值为25/4。
解法二：
令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2，
∵x∈(0，π/2)，
∴a、b∈(0，1)，a+b=1，ab≤[(a+b)/2]^2=1/4。
∴原式等价于
(a+1/a)(b+1/b)
=(a/b+b/a)+[(ab)+(1/ab)]
≥2+[(1/4)+4]
=25/4。
解法三：
令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2，
∵x∈(0，π/2)，
∴a、b∈(0，1)，且a+b=1，
构造函数f(x)=ln(x+1/x)，
很易判定，当x∈(0，1)时，f(x)为下凸函数，
∴依Jensen不等式，得
f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2]
→ln(a+1/a)+ln(b+1/b)≥2ln[(a+b)/2+2/(a+b)]
→(a+1/a)(b+1/b)≥[(1/2)+2]^2
→[(sinx)^2+1/(sinx)^2][(cosx)^2+1/(cosx)^2]≥25/4。
上式取等号，得所求最小值为25/4。
其他如构造向量法、构造复数法等就不一一列出了!。
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