高一数学解析几何
已知直线L:y=k(x+2√2) 与圆 O:x²+y²=4相交于A,B 两点, O为坐标原点,三角形ABO 的面积为S,(1)试将S 表示成k 的函数,并指出它的定义域,(2) 求 S的最大值,并求取得最大值时k的值
把y=k(x+2√2)代入x²+y²=4,得(1+k²)x²-4√2k²x+4(2k²-1)=0…(*),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4√2k²/(1+k²),x1x2=4(2k²-1)/(1+k²) |AB|²=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2=16(1-k²)/(1+k²),点O到AB的距离 d=2√2|k|/√(1+k²)。
(1) S=0。5|AB|×d=4√2|k|√(1-k²)/(1+k²)由(*)式的判别式△≥0,得|k|<1,显然k≠0(否则△ABO不存在), ∴ 定义域是k∈(-1,0)∪(0,1) (2) 设t=|k|√(1-k²)/(1+k²)…(**),则(1+t²)k^4-(1-2t²)k²+t²=0, ∵ △=(1-2t²)²-4t²(1+t²)≥0, ∴ 0∴ S≤4√2×(√2/4)=2, ∴ S(max)=2,此时t=√2/4,把它代入(**)式,得k=±√3/3。 ∴ S的最大值为2,此时k的值为±√3/3 。
答:(1)(y-2)/(x-1)值即点(1,2)与圆上一点连线的斜率。作图易得相切时分别有最大值和最小值。 解:设过(1,2)与圆相切的直线斜率为k,写出直线方程与...详情>>
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