数列难题请教
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q>0且q不等于1，是否存在互不相等的自然数m，n，r，使得Sm，Sn，Sr成等差数列时，m，n，r也是等差数列，若存在指出对应的q的取值范围，若不存在请说明理由。
显然，等比数列{an}的前n项和为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
那么，要使得Sm，Sn，Sr成等差数列，即：
2*Sn=Sm+Sr
即：2*a1*(1-q^n)/(1-q)=a1*(1-q^m)/(1-q)+a1*(1-q^r)/(1-q)
而又因为“q>0且q不等于1”
即有：
a1=0（显然不可能，舍！）
或：2*(1-q^n)=(1-q^m)+(1-q^r)
即：2*q^n=q^m+q^r 两边同除q^m
即：2*q^(n-m)=1+q^(r-m)
不妨设m,n,r也是等差数列 n-m=d r-m=2d
(q^d-1)^2=0
q^d=1 d为任意整数但不为零 又q不为一
故当且仅当q=-1 且 d为非零偶数时 命题成立
但q>0 所以q不存在
显然，等比数列{an}的前n项和为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
那么，要使得Sm，Sn，Sr成等差数列，即：
2*Sn=Sm+Sr
即：2*a1*(1-q^n)/(1-q)=a1*(1-q^m)/(1-q)+a1*(1-q^r)/(1-q)
而又因为“q>0且q不等于1”
即有：
a1=0（显然不可能，舍！）
或：2*(1-q^n)=(1-q^m)+(1-q^r)
即：2*q^n=q^m+q^r
不妨设m,n,r也是等差数列，则有：m+r=2n
2*q^[(m+r)/2]=q^m+q^r=q^m*[1+q(r-m)]
即：2*q^(r/2)=q^(m/2)*[1+q(r-m)]
答：应该是C！！！！！详情>>
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