向量问题已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b

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已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是多少？

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设向量a,b的模分别为A，B，设a,b夹角为C
∵(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b
∴(a-2b)·a=0   (b-2a)·b=0
展开得A^2-2ABcosC=0
      B^2-2ABcosC=0
解得A^2=B^2
     A=B
所以AB-2ABcosC=0
解得cosC=0.5
所以夹角C为60度

1***

2006-05-06 15:12:34

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(a－2b) ⊥a ==> (a－2b)·a=0 ==> |a|^2-2a·b=0……(1)
(b－2a) ⊥b ==> (b－2a)·b=0 ==> |b|^2-2a·b=0……（2）
由（1），有a·b=(|a|^2)/2
（1）-（2），得到|a|=|b|
因为a·b=|a||b|cos(a与b的夹角)
所以cos(a与b的夹角)=[(|a|^2)/2]/(|a||b|)=1/2
∴a与b的夹角=60度。

1***

2006-05-06 15:14:39

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