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帮帮忙!!关于求函数值域的一个方法

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帮帮忙!!关于求函数值域的一个方法

求函数y=(x^2+2x+2)/(x+1)的值域。

我知道这题似乎可以用这个方法,即判别式法。

(x+1)*y=x^2+2x+2
化简为x^2+(2-y)*x+2-y=0

因为,判别式大于等于零;
所以,(2-y)^2-4*(2-y)>=0
y^2>=4
y>=2 或 y<= -2

这个结果是对的,可是为什么呢???判别式法不是只可以在定义域为全体实数的时候使用吗?本题定义域是(—∞,1)∪(1,+∞)啊!
哪位高人可以指点迷津?这个所谓的判别式法究竟在什么情况下使用?或者本题有没有别的方法?
多谢多谢!!

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好评回答
  • 2004-12-16 19:54:48
      求值域的方法中最主要的是——求反函数的定义域。所谓求反函数的定义域,就是判定在给定的原函数的自变量所对应的函数值,那些存在?这些存在的函数值的集合,就是原函数的值域。
    在这个题目的解里,是把y当成已知数,用判别式来确定那些y使x存在。这些使x存在的y的集合,不就正好使原函数的值域吗?所以这“判别式法”不如叫“反函数法”好。
       还应该注意,如果x^2项的系数如果含有y,那么,使x^2项的项的系数为零的y的值,使二次方程成为一次方程。此时判别式没有意义,必须研究这y对应的x是否存在。否则,会产生错误。(这题目里不存在这问题)。另外,从上面叙述可以看出,定义域不是特别重要,只要注意到,就可以。
       本题当然也有别的办法,例如使用基本不等式a+b>=2(ab)^(1/2)就可以。 y=(x^2+2x+2)/(x+1)=[(x+1)^2+1]/(x+1)=(x+1)+1/(x+1) 1。x>-1===>x+1>0===>y>=2 2。
      xx+1-(x+1)>0 ===>[-(x+1)]+1/[-(x+1)]>=2 ===>-y>=2 ===>y==2。 【对应的定义域分别是(+无穷,-2]及[+2,+无穷)】。

    y***

    2004-12-16 19:54:48

其他答案

    2004-12-17 19:03:40
  • It's easy!!!
    (x+1)^2+1/(x+1)再分离常数即可:(x+1)+1/(x+1)>=2或《=2

    萌***

    2004-12-17 19:03:40

  • 2004-12-17 12:51:18
  • 不对,这里的x 的定义域其实是全体实数的,
    这里“y=(x^2+2x+2)/(x+1)”中,当x 等于任何数值时
    y 都有最大最小值2
    因为即使x+1=0 ,y 一样可解。
    

    风***

    2004-12-17 12:51:18

  • 2004-12-16 20:58:40
  • 我知道你问题出在哪里!
    你这道题目解的答案是正确的.不过过程中
    (x+1)*y=x^2+2x+2...............(问题在这里)
    化简为x^2+(2-y)*x+2-y=0
    因为,判别式大于等于零;
    所以,(2-y)^2-4*(2-y)>=0
    y^2>=4
    y>=2 或 y<= -2
    做到这里以后题目并没有完.此时你发现x不等于-1
    ,注意到判别式法不是只可以在定义域为全体实数的时候使用.
    我们现在只需要做检验(x+1)*y=x^2+2x+2的根会不会出现在x=-1上?
    显然x=-1,左边=0,右边=1不相等
    所以不论y取什么数,都不会让x=-1
    于是这我们放心做判别式大于等于零;
    不知道你有没有理解我的意思了
    

    初***

    2004-12-16 20:58:40

  • 2004-12-16 19:40:34
  • 不对啊
    具我看来这道题错的关键在于你没有注意到这是一个分式方程
    在求Y的方程解时你首先要先考虑到X的取值范围啊
    在据此回答
    1,先求知X不等于-1
    2下一步将x等于-1带入判别式就OK了

    哈***

    2004-12-16 19:40:34

  • 2004-12-16 19:38:47
  • y = (x^2+2x+2)/(x+1) = [(x+1)^2 + 1]/(x+1) = (x+1) + 1/(x+1) 
    (x+1) > 0 时: 
        y >= 2 * 根号{(x+1)*[1/(x+1)]} = 2
    (x+1) = 2 * 根号{[-(x+1)]*[-1/(x+1)]} = 2
      即: y <= -2
                  
    

    m***

    2004-12-16 19:38:47

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