(1)f'(x)＝e^x-1(x+1). 当x>0时，e^x>1,1/(x+1)0时，f'(x)>0, 即f(x)在区间(0,+∞)上是增函数， ∴当x＝0时，f(x)取最小值为0. (2)把y看作常量，x看作变量构造函数 f(x)＝e^(x-y)-1-㏑(x+1)+㏑(y+1), 则f'(x)＝e^(x-y)-1/(1+x). x-y>0→e^(x-y)>1,x>y≥0→1/(x+1)0,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 当x＝y时，f(y)＝0, ∴x>y时，f(x)>f(y)＝0. 即e^(x-y)-1>㏑(x+1)-㏑(y+1)。
(1) f(x)＝e^x-ln(x+1)-1 (x≥0)。 f'(x)＝e^x-1/(x+1)=[(x+1)e^x-1]/(x+1)。 令 f'(x)=0, 解得 x=0。 当 x>0 时，函数单调增加，则函数的极小值即最小值是 f(0)=0。
(2) 记 g(x,y)=e^(x-y)-1-㏑(x+1)+㏑(y+1)。 则 g'=e^(x-y)-1/(x+1), g'=-e^(x-y)+1/(y+1), 令g'=0，g'=0，得驻点(0,0)。 g''=e^(x-y)+1/(x+1)^2, g'=-e^(x-y), g'=e^(x-y)+1/(y+1)^2, A=g''(0,0)=2>0, B=g''(0,0)=1, C=g''(0,0)=2, AC-B^2=3>0, 则驻点(0,0)是极小值即最小值点，即 g(x,y)≥g(0,0)=0。
故当 0≤y0, 即e^(x-y)-1>㏑(x+1)-㏑(y+1)。
（1）df/dx ＝ e^x-1/(x+1) ≥ (1+x)-1/(x+1) ＝ (x^2+2x)/(x+1) ＞ 0 所以 f(x) 是增函数，最小值只能在 x ＝ 0 取得，即f|min ＝ f(0) ＝ 0 。 （2）因 e^(x-y)-1 ＞ 1+(x-y)-1 ＝ x-y ，所以只要证得 x-y ≥ ㏑[(x+1)/(y+1)] 原命题就成立 即证 e^(x-y) ≥ (x+1)/(y+1) 也只要证得 1+(x-y) ≥ (x+1)/(y+1) 即要证y(x-y) ≥ 0 ，显然成立
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