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设二阶矩阵A有两个不同特征值λ1

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设二阶矩阵A有两个不同特征值λ1

设二阶矩阵A有两个不同特征值λ1,λ2,ξ1,ξ2是分别属于特征值λ1,λ2的任意特征设二阶矩阵A有两个不同特征值λ1,λ2,ξ1,ξ2是分别属于特征值λ1,λ2的任意特征向量,证明向量ξ1与ξ2不共线

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    2012-06-26 08:30:25
  • 证明: 反证. 
    假设 ξ1+ξ2 是A的属于特征值λ的特征向量
    则 A(ξ1+ξ2) = λ(ξ1+ξ2)
    而 A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2
    所以 (λ-λ1)ξ1+(λ-λ2)ξ2=0
    由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关'
    所以 λ-λ1 = λ-λ2 = 0
    所以 λ=λ1=λ2, 矛盾.

    三***

    2012-06-26 08:30:25

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