在中国的古代，运算过程中所常用的方法是算筹。所谓算筹就是一些用木、竹制作的匀称的小棍，算筹纵横布置，就可以表示任何一个自然数。据考证，至少在公元前8〜5世纪的春秋时代，我国算筹记法已经成熟并完备，而印度正式使用0这一符号是在公元876年以后。
  只有表示0的方法使用后，十进制才算完备。因此，中国是名副其实的十进制故乡。当数学进入到高级领域的时候，许多的数学家都为走过这一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次方程和一元二次方程的求解方法。关于一元三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《古算经》就有叙述。
  到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的〈傲书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求解方法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，意大利的数学家塔塔 里亚发现了一元三次方程解的公式，即“卡当公式”。
  一元三次方程被解出来后，一般的一元四次方程很快就被意大利 的费拉里（1522~1560)解出。这就很自然地促使数学家们继续努力 寻求一元五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都 没有解决。
  到了 19世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔（1802〜1829)证 明了一元五次或五次以上的方程不可能有代数解。即这些方程的解不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示 出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。
  后来，一元五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法 国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华曾经给朋友舍瓦利叶的信中说:“我在分析方面有了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的…”。公开请求 雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。
  我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”随着时间的推移，伽罗华研究成果的重要意义越来越被人们所认 识。除了方程之外，他解决的问题中，还提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直 接影响了代数学研究方法的变革。
  从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。