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求椭圆长轴长

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求椭圆长轴长

在底面半径为6的圆柱体内有两个半径也为6的球体,两球体的球心距离为13,若作一个平面与两个球体都相切.且与圆柱面相交成一椭圆,则长椭圆轴长为多少?

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  • 2010-11-18 14:43:53
    这道题关键是如何理解这个椭圆,需要一定的空间想象能力。画出大致的示意图,易知这两个球放在圆柱体内,球心连线一定垂直于圆柱底面,并且这两个球之间有一定的距离。作出与这两个球相切的平面的示意图,则这两个球的球心到这个平面的距离均为6,切点记为P,Q,球心分别记为O1,O2,与圆柱面相交成一椭圆的长轴上对应的顶点记为A,B,O1O2与AB的交点记为C,则O1P=6,O1C=13/2
    从而PC=5/2,长轴长就是AB,先求半长轴长AC,令AC=a,
    再记球O1与圆柱面的交点为E,过C作O1E的平行线,交圆柱面为H,则在矩形O1CHE中的直角三角形ACH中,有
    6^2+(13/2-AE)^2=a^2
    由于AE=AP=AC-PC=a-5/2,
    所以6^2+(13/2-a+5/2)^2=a^2
    即  9(2a-9)= 36
    解得 2a=13
    故与圆柱面相交成一椭圆的长轴长为13。
    

    别***

    2010-11-18 14:43:53

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