几何题
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG. (1)求证：EG=CG (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45度，如图②所示，取DF中点G，连接EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（提示：仍然成立，还能得出EG⊥GC） 注意：只要解答（3）小题就可以了。图形请看附件。
分析：解题要注意隐含条件的应用！题中G是DF的中点，而隐含条件正方形中心是对角线的中点，因此实际上这是一个多中点问题，因此可以添加三角形中位线基本图形来解！ 略证： 取正方形中心O，等腰直角三角形斜边上的中点M， 连结GO，EG，MG，根据三角形中位线定理等易证GO=BF/2=EM， MG=BD/2=CO，四边形MBOG为平行四边形， ∴∠GOC=90°+∠GOD=90°+∠FMG=∠EMG， ∴△GOC≌△EMG，∴GC=GE，∠OGC=∠MEG， 易知∠EGC=∠EGM+∠MGO+∠OGC =∠EGM+∠FMG+∠MEG=180°-90°=90°， ∴GC⊥GE
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG。 (1)求证：EG=CG 因为EF⊥BD 所以，△DEF为直角三角形 已知点G为DF中点 所以，EG=DF/2【直角三角形斜边的中线等于斜边的一半】 同理，在Rt△DCF中，CG=DF/2 所以，EG=CG (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45度，如图②所示，取DF中点G，连接EG,CG。
问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 结论仍然成立。
连接AG，过点G作AB的垂线，垂足为H 因为四边形ABCD为正方形，所以∠EBF=45° 又已知EF⊥BD 所以，△BEF为等腰直角三角形 现在将△BEF绕B逆时针旋转45°，则点E在AB上 所以，FE⊥AB 在△DAG和△DCG中： DA=DC（已知） ∠ADG=∠CDG=45° DG公共 所以，△DAG≌△DCG（SAS） 所以，AG=CG 因为GH⊥AB，DA⊥AB，FE⊥AB 所以，FE//GE//AD 已知点G为DF中点 所以，点H为AE中点 那么，GH为线段AE的垂直平分线 所以，AG=EG 所以，EG=CG （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（提示：仍然成立，还能得出EG⊥GC） 结论同样成立，且有EG⊥CG 如图 连接BD，取BD中点为O，取BF中点H，连接OG，OH，GH，并延长GH交BE于点M 因为△BCD为等腰直角三角形，点O为斜边BD中点 所以，CO⊥BD，CO=BD/2 同理，△BEF为等腰直角三角形，点H为斜边BF中点 所以，EH⊥BF，EH=BF/2 又因为，点G为DF中点，点O为BD中点，点H为BF中点 所以，GO、GH、OH为△FBD的三条中位线 所以，GO//==BF/2，OH//==DF/2，GD//==BD/2 所以，GO=FH=EH，GH=BD/2=CO，且四边形FGOH为平行四边形 所以，∠1=∠2=∠3 而，∠GOC=∠2+∠DOC=∠2+90° ∠EHG=∠3+∠EHF=∠3+90° 所以，∠GOC=∠EHG 那么，在△GOC和△EHG中：【图中两个阴影三角形】 GO=EH（已证） ∠GOC=∠EHG（已证） OC=HG（已证） 所以，△GOC≌△EHG（SAS） 所以，CG=EG 又，由△GOC≌△EHG得到：∠CGO=∠HGE，即图中∠5=∠6 所以，∠CGE=∠1+∠4+∠5=∠1+∠4+∠6 而，∠4+∠6=∠7 由GO//BF得到，∠1=∠8 所以，∠CGE=∠8+∠7=∠EHB=90° 所以，CG⊥EG。
第三小题实际上，就是第一小题和第二小题的综合 在3）中无非就两种情况，一种情况就是在对角线以下，那么证明角EGC=90就是第一题中的问题，第二种情况就是三角形在对角线的另一侧，实际上就是第二小题中的情况，证明角EGC=90就可以了。证明90度很简单，参考第一问和第二问中证明相等三角形，就可以证明90度
答：1、AF＝BE，证明如下： 角ACF＝角BCE， AC=BC, CF=CE, 根据角边角有三角形ACF全等与三角形BCE. 所以，AF=BE. 2、成立，证明方...详情>>
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