初中奥数题
(1)已知实数x,y,z满足x=6-y,z^2=xy-9,求证:x=y (2)已知x^2+x-1=0,求代数式21x^4-28x^3-70x^2+49x+1
由已知条件得:x+y=6,xy=z 2+9,由韦达定理知x、y可看作方程 t^2+6t+z^2+9=0的两个根, 又已知x、y都是实数,故方程的判别式△≥0, 即6^2-4z^2+9≥0,所以-4z^2≥0得z 2≤0, 而z是实数,必有z^2≥0, 所以z^2=0,则z=0,此时△=0, 于是原方程有两个相等实根,即x=y 21x^4-28x^3-70x^2+49x+1 =(x^2+x-1)(21x^2-49x)+1 =1
1)x=6-y,两边同乘以y,得到xy=6y-y^2,带入z^2=xy-9 得到:z^2=6y-y^2-9,得出z^2=-(y-3)^2,两边都是完全平方数,所以得出z=0,y-3=0,y=3,所以x=6-3=3=y,所以x=y得证。 2)代数式变形:21x^2(x^2+x-1)+21x^2-21x^3-28x^3-70x^2+49x^2+1 =21x^2(x^2+x-1)-49x^3-49x^2+49x+1 =21x^2(x^2+x-1)-49x(x^2+x-1)+1 因为x^2+x-1=0,所以代数式21x^4-28x^3-70x^2+49x+1=1
(1)已知实数x,y,z满足x=6-y,z^2=xy-9,求证:x=y 因 x=6-y,z^2=xy-9, 所以 z^2=xy-9 z^2=-y^2+6y-9 z^2=-(y-3)^2 因z^2=-(y-3)^2>=0, 所以y=3 代入x=6-y 得x=3 所以x=y (2)已知x^2+x-1=0,求代数式21x^4-28x^3-70x^2+49x+1 用综合除法,得 21x^4-28x^3-70x^2+49x+1 =(x^2+x-1)(21x^2-49x)+1 =1
答:解:设生产甲的x,乙的y,丙的z. x+y+z=59 15x:12y:8z=3:2:1 解得:x=24,y=20,z=15详情>>
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