约数和倍数证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整爱问知识人

约数和倍数

证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除

小***

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任意自然数都可以写成3n-1,3n,3n+1中的一种形式.
(1)如果两自然数都为3n-1或3n+1形式,则它们的差一定是3的倍数;
(2)如果两自然数都为3n形式,则它们的和、差、积一定都是3的倍数;
(3)如果两自然数一个为3n,另一个为3n-1或3n+1形式,则它们的积一定是3的倍数;
(4)如果两自然数分别为3n-1或3n+1形式,则它们的差一定是3的倍数.
综上所述,任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除
.

铁***

2007-05-24 13:13:20

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设两自然数为m,n
m+n=a
m-n=b
mn=c
假设a,b,c都不能被3整除,
不能被3整除的数可以写成3k±1的形式
不妨设a=3p±1,b=3q±1
a^2=9p^2±6p+1,b^2=9q^2±6q+1
a^2-b^2=9(p^2-q^2)±6(p±q)=4c (两个±任意组合)
c能被3整除
假设不成立
a,b,c至少有一个能被3整除

z***

2007-05-24 12:54:01

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