函数题
设函数f(x)满足:对任意x属于R,都有f(x+1)=af(x)成立,其中a是大于0的常数 1.若当x属于(0,1]时,f(x)=x,试讨论f(x)的奇偶性 2.若当x属于(0,1]时,f(x)=2^x+2^(-x),求在区间(n,n+1],n为正整数上的解析式 3.试研究中所述函数f(x)在(0,正无穷)上是否可能是单调函数?若可能,指出a的取值范围;若不能,请说明理由
设函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)=af(x)成立,其中常数a>0 1。若当x∈(0,1]时,f(x)=x,试讨论f(x)的奇偶性 2。若当x∈(0,1]时,f(x)=2^x+2^(-x),求在区间(n,n+1],n∈N上的解析式 3。
试研究(2)中所述函数f(x)在(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,指出a的取值范围;若不能,请说明理由 1、 f(1)=1=af(0)--->f(0)=1/a=af(-1)--->f(-1)=1/a^ > 0 显然:f(-1)≠-1=-f(x), 即:f(x)不是奇函数 同时:a≠1时,f(-1)≠f(1), 即:f(x)不是偶函数 而:a=1时,f(x+1)=f(x)=f(x-1)=。
。。 x∈(0,1]时:f(x)=x f(-x)=f(-x+1)=1-x不恒等于f(x) 即:f(x)也不是偶函数 综上:f(x)是非奇非偶函数 2、x∈(0,1],即n=0时, f(x)=2^x+2^(-x) --->x∈(n,n+1]时,x-n∈(0,1]--->f(x-n)=2^(x-n)+2^(n-x) f(x)=af(x-1)=a^*f(x-2)=a^3*f(x-3)=。
。。 =a^n*f(x-n) =a^n*[2^(x-n)+2^(n-x)] 3、事实上,f(x)是一个分段函数,x∈(n,n+1],n∈N时, f(x)=a^n*[2^(x-n)+2^(n-x)]是增函数(楼上已证,略) 要使f(x)为单调(增)函数,必须满足: 对于任一区间(n,n+1]上的最大值f(n+1), 必须不大于下一个区间[n+1,n+2]上的最小值f(n+1),即: a^n*[2^(n+1-n)+2^(n-n-1)] ≤ a^(n+1)*[2^(n+1-n-1)+2^(n+1-n-1)] --->2^1+2^(-1) ≤ a*(2^0+2^0) --->a≥5/4 --->a≥5/4时,f(x)是单调增函数。
如图:粉、红、绿色分别是f(x)在a=3/2、a=5/4、a=9/8时的图像。
1。 ∵x∈(0,1],f(x)=x,f(x+1)=af(x)=ax,∴ f(x)=a(x-1), f(-x)=-a(x+1),而 f(-x)+f(x)=-2a≠0,即f(-x)≠-f(x) , ∴ f(x)不是奇函数, f(-x)-f(x)=-2ax不恒为0, f(-x)不恒等于f(x), ∴f(x)不是偶函数。
2。 ∵ x∈(0,1]时,f(x)=2^x+2^(-x), x∈(n,n+1]时, x-n∈(0,1], ∴ f(x-n)=2^(x-n)+2^(n-x), 又f(x+1)=af(x), f(x)=af(x-1)= a[af(x-2)]=(a^2)f(x-2)=…=(a^n)f(x-n)= (a^n)[2^(x-n)+2^(n-x)]。
3。 设x1n,x2>n,∴x1+x2 >2n>0, ∴ 2^(x1+x2-2n)-1>0, 2^(x1+x2-2 n)>0, a^n>0, ∴ f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)。
1。 x∈(0,1),f(x)=x x=f(x)=af(x-1),f(x-1)=x/a 若f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(1-x)=f(x-1), [1-x∈(0,1)] 1-x=x/a,a=x/1-x 不是常数,所以不是偶函数 若f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),f(1-x)=-f(x-1) 1-x=-x/a,a=x/x-1 不是常数,所以不是奇函数 2。
x∈(0,1),f(x)=2^x+2^(-x) f(x+1)=af(x)=a[2^x+2^(-x)] , x+1∈(1,2] f(x+2)=af(x+1)=a^2[2^x+2^(-x)], x+2∈(2,3] 。。。 f(x+n)=a^n[2^x+2^(-x)] , x+n∈(n,n+1] f(x)=a^n[2^(x-n)+2^(n-x)], x∈(n,n+1] 3。
可能,当a>=5/4时 2^x+2^(-x)在(0,1]上是增函数,(这个就不证明了) f(x)如果是单调函数一定是增函数 a^n*(2^0+2^0)>=a^(n-1)[2^1+2^(-1)] 2a>=5/2,a>=5/4。
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