求实数范围
已知二次函数f(x)=ax^2+x.若对任意x1,x2∈R有f[(x1+x2)/2] ≤ 1/2[f(x1)+f(x2)],求实数a的取值范围;若x∈[0,1],有|f(x)|≤1试求实数a的取值范围
问题(1) 因为:f(x)=ax^2+x 所以: f[(x1+x2)/2]=a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2 (1/2)[f(x1)+f(x2)]=(1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)] 由f[(x1+x2)/2]≤(1/2)[f(x1)+f(x2)] 得到: a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2 ≤ (1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)] →a[(x1+x2)/2]^2 ≤ (a/2)(x1^2 + x2^2) →a(2x1x2)≤a(x1^2 + x2^2) 显然对任意x1,x2∈R 有 x1^2 + x2^2 ≥ 2x1x2 所以,得到当a≥0 时,不等式a(2x1x2) ≤a(x1^2 + x2^2)成立 但由于题意,f(x)为二次函数,所以a不能为0,所以 a的取值范围是a>0 ---------------------- 问题(2) 用作图法解最快 f(x) = ax^2 + x 恒过点(0,0) 讨论图像开口方向 a>0 开口向上 且x∈[0,1]时 f(x)≥ 0 所以|f(x)|=f(x) 而对称轴-1/(2a)<0,所以 x∈[0,1] f(x)是递增的 f(1)最大 ∴f(1)≤1 ∴ a+1≤1 ∴a≤0 a<0 开口向下 此时对称轴-1/(2a)>0 因此图像最大值在x=-1/(2a)取到 分开讨论-1/(2a)的大小 如果-1/(2a)>=1 得到a>=-1/2 那么,x∈[0,1] f(x)是递增的,且f(x)>=0 所以|f(x)|=f(x) f(1)最大 因此得:f(1)<=1 得到 a+1<=1 得到 a<=0 综合得到 -1/2≤a< 0 如果-1/(2a)<1 得到 a<-1/2 那么,x∈[0,1] f(x)在 [0,-1/(2a)]上递增 [-1/(2a),1]上递减 那么由|f(x)|≤1 得到: f(-1/(2a))≤1 |f(1)|≤1 得到:a≤-1/4 -2≤a≤0 综合得到 -2≤a<-1/2 综合图像讨论,得到a的取值范围[-2,0) 图形解题其实很直观,只是这里没有图形,所以写起来比较麻。
答:(2) 由f(2)=2,f(-2)=0,得4a+2b+c=0……①,4a-2b+c=0……②, ①-②,得b=1/2.①+②,的3c=1-4a,代入f(x)≥x...详情>>
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答:面对非常多的作业,如果不会,肯定是慢的。多特儿童专注力老师提醒家长,首先要了解孩子对于知识的掌握程度,然后有针对性的给予辅导,只要学会知识后,写作业的效率自然而...详情>>
答:确定研究问题的关键之处在于关键术语的界定和使用。历史研究是寻找过去的事实,并在这个信息基础上描述、分析和解释过去。所以,关键术语的逻辑一致性就显得十分重要。我们...详情>>
答:如果他能适应于大部分人,就是对的,而且也没有新的方法取代他详情>>