高1数学``
设2次函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),且对于任何实数α,β,恒有f(sinα)>=0,f(2+cosβ)<=0 1.求证b+c=-1. 2.求证c>=3 3.若函数f(sinα)的最大值为8 ,求b和c的值
解:对于(1),欲出现b+c,需让x2+bx+c中的x取1.给的是不等关系,要的是相等关系,故可采用两边夹的办法,即既推f(1)≥0,又推f(1)≤0. 有了(1),则二次函数的解析式可消去b,即f(x)=x2-(1+c)x+c.为了证(2),我们可采用取中间点与端点值试验的方法,看什么时候能达到要求.注意到|sinα|≤1,1≤2+cosβ≤3,可计算f(-1),f(0),f(3),易知当x=3时,可得到(2),但这不能代替证明!证明需这样写: ∵ f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)•(x-c)≤0在1≤x≤3时恒成立, ∴ x-c≤0,即x≤c恒成立. ∴ c≥xmax=3. 对于(3),首先有 f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c, 考察该函数的单调性,看什么时候f(sinα)取最大值8. 由(2)知c≥3,从而(1+c)/2≥2,故f(sinα)在sinα=-1时取最大值8,即 (-1)2+(1+c)•1+c=8, 得 c=3, 从而 b=-1-c=-1-3=-4. 。
(1)证明: ∵-1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立 ∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立 ∴f(1)≤0. ∴f(1)=0 ∴b+c+1=0 即b+c=-1 (2)证明: ∵f(2+cosβ)≤0, ∴f(3)≤0 ∴9+3b+c≤0 ∵b+c=-1 ∴c≥3 (3)解: 分析:f(sinx)=sin2x-(1+c)sina+c, 考察该函数的单调性,看什么时候f(sinx)取最大值8. 由②知c≥3,从而(1+c)/2≥2,故f(sinx)在sinx=-1时取最大值8, 即(-1)^2+(1+c)*1+c=8, 得c=3, 从而b=-1-c=-1-3=-4
答:(2) 由f(2)=2,f(-2)=0,得4a+2b+c=0……①,4a-2b+c=0……②, ①-②,得b=1/2.①+②,的3c=1-4a,代入f(x)≥x...详情>>