解 对于正三角形ABC平面上任一点P，过P点分别作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F。 显然可求得:EF=(√3)/2*PA，FD=(√3)/2*PB，DE=(√3)/2*PC， 所以说PA，PB，PC三线段均可做构成一个任意三角形DEF。
设△DEF的面积为W，则 W={√[6(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-3(a^4+b^4+c^4)]}/2。(1) 注意:当P点在正三角形ABC的外接圆上，由西姆松定理知: 三垂足D，E，F共线，此时三角形DEF退化为直线DEF。
设正三角形ABC边长为d，令T=a^2+b^2+c^2，由旋转变换或解析几何方法可求得: d^2=[T±2W]/2 (2) 当P点在正三角形ABC形内, d^2=[T+2W]/2; 当P点在正三角形ABC形外, d^2=[T-2W]/2; 当P点在正三角形ABC的外接圆上，d^2=T/2。
2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-(a^4+b^4+c^4)=0 这就是说，P在正三角形ABC的外接圆上，则PA^2+PB^2+PC^2=2d^2。 。
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