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2011-03-09 23:38:43

•   已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的一个顶点A(0,1),离心率为根号2/2,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点，右焦点设为F2。 
  求椭圆的方程。
  已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），那么椭圆的焦点在x轴上
  已知一个顶点为A(0,1)
  那么，b=1
  又已知离心率e=c/a=√2/2
  所以，c^2/a^2=1/2
  ===> a^2=2c^2
  而，a^2=b^2+c^2
  所以：2c^2=b^2+c^2
  ===> c^2=b^2=1
  所以，a^2=b^2+c^2=2
  所以椭圆的方程为：x^2/2+y^2=1
  求三角形CDF2的面积。
    
  由前面知，椭圆为x^2/2+y^2=1中c^2=1
  所以，左焦点F1(-1,0)，右焦点F2(1,0)
  点B(0，-2)
  所以，过B，F1的直线为：2x+y+2=0
  联立直线与椭圆方程得到：x^2+2y^2-2=0，2x+y+2=0
  ===> x^2+2(-2x-2)^2-2=0
  ===> x^2+2(4x^2+8x+4)-2=0
  ===> x^2+4x^2+16x+6=0
  ===> 5x^2+16x+6=0
  所以：x1+x2=-16/5，x1x2=6/5
  那么，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-16/5)^2-(24/5)=136/25
  又，y1=-2x1-2，y2=-2x2-2
  所以，(y1-y2)^2=4(x1-x2)^2=4*(136/25)=544/25
  则，CD=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[(136/25)+(544/25)]=√(136/5)
  而，点F2(1,0)到直线CD的距离为d=|2*1+0+2|/√(2^1+1^2)=4/√5
  所以，△CDF2的面积=(1/2)*CD*d=(1/2)*√(136/5)*(4/√5)
  =(4√34)/5。
    

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  T***

  2011-03-09 23:38:43

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