一道数学竞赛题
讨论一道开放题，老师要求同组每个同学至少要和三个同学交换意见．某学习小组共有１１位同学，讨论完成后有两位同学说自己已和４个同学交换了意见．请证明至少还有一位同学也至少和４个同学交换了意见．
证明：
因为甲、乙二人相互讨论一次，每人都说自己讨论了一次，统计时，就被算作了两次．
11个人，如果每人刚好只讨论了3次，总次数将是11×3=33次，由于其中有两人是讨论的4次，则总次数是：33+2=35次
根据前面的分析，对每一次讨论都有两人报数，故总次数应该是2的倍数.
所以，总次数 35
35+1=36．
即总次数至少是36次，故，一定至少还有一人是讨论的4次.
证明：因为当两个同学交换意见时，双方都与对方交换了意见，这是老师统计哪些同学交换了意见时，就会出现交换意见次数共为2次，所以同学之间相互交换意见的次数会为偶数；当11位同学交换完意见时，有两位同学与4个同学交换了意见，其余9位同学如果按至少与3位同学交换了意见，其次也应为偶数，而3与9相乘得27，显然是不可能的，于是这9位同学中除与3位同学交换了意见，至少应还与一位同学交换了意见，即9位同学中至少还有一位同学也至少和4位同学交换了意见
55
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