一道函数求导题
若函数f(x)在(a,+∞)上可导,且lim(x→+∞)f(x)存在,则必定有lim(x→+∞)f'(x)=0 此命题若对,给出证明 若错,举反例并给出原因
因为lim(x→+∞)f(x)存在,因此必有lim(x→+∞)f(x)=A(A为常数) 令g(x)=f(x)-A,则因为函数f(x)在(a,+∞)上可导,必有函数g(x)在(a,+∞)上可导 因为lim(x→+∞)f(x)=A,因此有lim(x→+∞)g(x)=0,即函数g(x)在x→+∞时趋向于直线y=0,即一定有lim(x→+∞)g'(x)=0 那么lim(x→+∞)g'(x)=lim(x→+∞)[f(x)-A]'=lim(x→+∞)f'(x)-0=0 因此,必定有lim(x→+∞)f'(x)=0
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