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数学读书报告
谢韵芝
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(36)
目录
P。1~~~~~封面
P。2~~~~~目录
P。3~~~~~书的介绍
P。4~~~~内容简介
P。5~~~~游戏
P。6~~~~感想
目录2
书的介绍
书名:数学盎然
内容简介
说一些
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生物数学读书报告—阿草的葫芦 
数学94 吴伟帆 
C14904072 
数学是人类文明的一个重要因素,在西方文明中,更占有核心的地位,所以
通识教育不能缺少数学,这大家都没有异议。
  如何选材,如何铺陈内容,这就见
仁见智了。正如好的教学可以有各种不同的风格与魅力,同理好的教材亦然。显
然,阿草已开辟出一条独特的清幽路径。 
笔者心目中理想的数学教育应展示整个求知的探寻过程:从问题(problem)
出发,作知识与思考的总动员,之後得到发现(discovery)或猜测(conjecture),
接著是作检验(test),即证明(proof)或否证(refutation),最後得到无上妙趣
的了悟(understanding)。
  在进行这个过程时,顺便将问题的情况与背景溶入,
这包括文化的,历史的资料,数学家的生平,趣事与美妙的想法等等。我们除了
要知道一个定理的证明之外,更重要的是,还要知道定理是如何发现或看出来
的。前者是「逻辑上的为什麼」(logically why),後者是「心理上的为什麼」
(psychologically why),两者都要兼顾,不可或缺。
   
科学哲学家马赫(E。 Mach,1838-1916)说:「你无法了解一个理论,除非你
知道它是如何发现的。(You can not understand a theory unless you know how it was 
discovered。
  )」对於数学的学习,发现与证明兼备才算完全。如何达到上述的理
想呢 让我们考察一下文献。正规的数学书或文章,绝大多数都只展示逻辑演
绎系统,定义定理证明,「亡象而存玄珠」,抽象冰冷得「不食人间烟火」。转
到数学史中去追寻,又只看见到处是史实的堆积,而流於「断烂朝报」的「集邮
式」知识,还是无法解求知之渴。
  忽闻科学哲学(philosophy of science)是讲究
科学知识的生长,演化与科学方法论的学问,但是进到里面,不免又让人失望了,
因为尽是「天马行空」的迷茫。 
似这种落空与失望的感觉,我们在禅宗的历史中也找到一个例子。禅宗第二
代祖师慧可(487-593,达摩是初祖),他在博览群书之後,每叹曰: 孔老之教,
礼数风规; 庄易之书,未尽妙理。
   说得真是淋漓尽致,所以他改追随达摩学禅。 
回到数学教育来,我们应该连结正规数学,数学史与科学哲学,三者合而冶之,
这样或许可以找到比较满意的解决之道。哲学家康德(I。 Kant, 1724-1804)说: 
哲学缺少科学是空的,科学缺少哲学是盲的。
   科学哲学家I。 Lakatos
(1922-1974学史缺少)把它修改为: 科学哲学缺少科学史是空的,科科学哲学
是盲的。那麼,优秀的数学教育(或数学通识教育)应以数学内容为主轴(不能
打折或避重就轻),揉合(或整合)数学史,科学史与科学哲学,来合理地重建
(rational reconstruction)数学知识的发现,试验与证明的生长过程。
   
再打个比方来说,我们要尽可能地考察数学发展的全貌:从种子落地,发芽,
生长,到开花结果,这是内在生命机理。另外,我们也要顾及外在的风,雨,阳
光与气候变迁,以便「参赞化育」,最终是期望达到教育的至高目标:「Teach to 
think」,点燃学生思想火炬。
   
如果我们采用上述高标准的观点,来检验《阿草的葫芦》,我们可以肯定地
说:阿草写得相当成功,并且已到达炉火纯青的境界。笔者在读得趣味盎然之馀,
不忍独享,於是情不自禁要将它介绍给年轻学子,中学数学教师以及广大社会业
馀的数学爱好者。
  对於有心想要进入数学世界,了解数学,品味数学的人,这是
一本绝佳的入门书。对於那些先前被「不当的数学」吓坏或教怕而得到「数学恐
惧症」的人,笔者更要建议,不妨拿起阿草这本书来读,给自己一个机会,也许
可以重新跟数学和解,开始喜欢数学。欣赏数学之美跟欣赏精致艺术的眼光与功
力差不多,虽不易建立,但值得培养。
  阿草在书中随时都埋下了数学美感经验的
种子,这是目前数学教育最欠缺的一环。现在让我们来考察全书的内容,由表入
里。 首先,一打开书,就觉得清爽悦目,插图生动精美,有的甚至远赴国外实
地拍摄。更特别的是,版面上的留白很大,也许阿草有意要避免费玛(Fermat)
事件的重演。
  每一章下方都附有一句小格言,很适切地表达阿草对数学或该章的
心得结晶。接著,主文的取材有趣,行文流丽,具有特殊的「阿草风味」,即简
洁中又含智性幽默。其次,我们观看内涵。全书一共有十四章,各章基本上是独
立的,并且形成一个圆足的小世界。
  这样的好处是,读者可以从任何一章切入,
而不必担心前後不连贯的问题。从数学的各分支来看,我们可以将全书的内容分
类如下: 
1。 数学家的故事:这是第一章的内容,讲述阿基米得(Archimedes, B。C。 
287-212), 柏努力(Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James
皆指同一人), 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)等四人的得意杰作
及其墓碑上所刻的几何图形, 由此展开许多有趣数学之讨论。
  值得顺便
一提的是,物理学家波茨曼(Ludwig Boltzmann,1844-1902)的墓碑上刻
的是他的著名公式: 
s=klogW 
其中S表熵(entropy),k为波茨曼常数,W表热力系统在给定宏观状态
下所包含的微观状态数。
   再作一对照:物理定律的数目偏好3,例如克
卜勒三定律,牛顿三运动定律,热力学三定律; 而数学公理偏好5,例
如欧氏几何的五公理,皮亚诺(Peano)自然数的五公理。 
2。 天文历算:这是第三章的内容。从科学史的眼光来看,天文学是数学与物
理学的故乡, 是数学问题与数学发现的丰富泉源。
  灿烂的星空,行星的
运行,季节的变换,除了让人感受到大自然的规律, 更激起人们无穷的
想像力与敬畏之情,於是展开无止境的求知探寻活动。阿草安排这一章,
有他的偏好, 也有他的远见。 
3。 几何学与三角学:这是第二,五,六,七,八章的内容,包括有平面的,
立体的与球面的情形。
   这部分从取材,观点,趣味,思考方法,到美的
欣赏,都有阿草独到的领略, 可以补足目前平淡无趣的高中数学。 
4。 微积分:这是第四,九章的内容。大自然利用微积分在大地上行事,但是
要掌握微积分却不容易, 微积分变成大一新生最感头痛的一门课。
  阿草
在第九章短短的三十五页中, 就将微积分两千馀年的发展之来龙去脉简
洁地说清楚。因此,笔者建议年轻学子,若第一次要念微积分, 不妨由
第九章切入,精读,保证可以让你愉快地,直指本心地进入微积分的堂奥。 
对於人生的「第一次」要非常慎重与珍惜。
   
5。 科学方法论:这是第十,十二,十四章的内容。 科学方法包括统计方法
与数学的各种猜测式推理(plausible reasoning)。 後者例如,归纳法,分
析与综合法,类推法,试误法,推广,特殊化(或极端化), 量纲检验,
对称性观察,局部推理,大胆假设,小心求证,想像力, 等等。
  
前者大致又分成三个层次: 一,蒐集资料,二,整理,比较与分析资料,
三,抛出假说,推出结论, 解释既知且预测未知。阿草选取黑龙(Heron)
公式(其实是阿基米得首创), 哥伦布发现美洲大陆,达尔文创立演化
论,孟德尔探索遗传定律等著名例子, 来说明科学方法的运用。
  这些都
是数学史,科学史与科学哲学研究的绝佳题材。 笔者特别喜欢第十二章,
关於黑龙公式的探索过程,从发现与证明, 到欣赏与方法论都齐备,讲
得实在太精彩了。 
6。 混沌与碎形:这是第十一章的内容,是近年来新兴的一门学问,跟电脑的
关系密切。
   为了赶上时代,阿草好学不倦,投入时间研读,再利用通俗
的话语介绍给读者。 
7。 数学教育与解题:这是第十二,十三,十四章的内容。 解题训练是数学
教育的核心工作。哲学家叔本华说: 
当一个人被某个问题所困,问题逐渐占据整个身心,如果他能够找到一
条解决的出路, 那麼他就成为一个哲学家。
  此地叔本华所说的问题是指
哲学上的大问题。 事实上,我们把「问题」改为「数学问题」,「哲学
家」改为「数学家」, 也行得通。准此以观,数学教育最要紧的是让学
生得到独立的解题经验, 从中锻?思想力与毅力。阿草举了许多例子,
实地作解题的「讲道说法」, 读者可先模仿,然後再找出最适合自己的
一条道路。
   只有当一个人??过独立解题的乐趣後,他才会喜欢数学,并
且终身难忘, 导致持久的追寻。 
数学有趣吗 问十个中学生有九个半会跟你说不。除去对所有东西都不屑一
顾的人不谈,剩下来的多数学子应该还是可以成为挣取支持的对象。起码把那些
会掏$$买「混沌」的人加起来,也比纯粹本格派的人来得多。
  阿草牌葫芦膏药
所要卖的对象就是这些边缘份子。阿草从文化面,历史面出发,随著数学历史的
演进,由欧氏几何,历法计算到微积分,机率统计乃至於混沌碎形,最後万流归
宗,探讨数学工具使用的基本原则。其内容完全不脱高中程度的数学知识,然而
研读此书的感觉却又与课本,参考书大相迳庭。
  没有人会认为算课本参考书内的
众多例题类题会很有趣,但为什麼它们会无趣 因为它们把数学与人之间的链结
打断了,所以失去了人味,自然「人」就不会对这些内容感兴趣。这个链结,阿
草不但帮我们找回来,还将两者更紧密地结合在一起,使读者感到研读的主体不
只是数学,而是人类文明整体发展的另一种面向。
   
欧基里德说:「学几何学无帝王之路。」研究数学绝对不能用「看」的,也不
能用「读」的,要自己亲身推导计算过才算数。加上阿草在书中对於各个问题的
解法推衍大多只有一笔带过,并无详细流程;几何问题顶多秀张图,说明能力亦
极有限。因此,阿草可能会说:「学数学无天堂之路。
  」我相信阿草如此编写的
目的是要读者自行思索,亲自踩著先人的足迹前进,如此才能享受研究数学的乐
趣,才能真正吸收这些知识。本书最佳的适用对象正是求学中的青少年。让他们
在尚未完全对数理学科失去信心和兴趣之前,利用阿草的特效药来矫治最为有
效。
  对一般读者而言,「阿草的葫芦」也算得上是一本内涵与实用兼具的科普书
籍。最起码我们已经有了不同的选择。我们教科书的编纂方式若能像本书一样,
那些徘徊在数理殿堂门口的边缘人必定会迈开脚步,跨越门槛,一窥科学的奥
妙。阿草的葫芦里别有一番洞天,但这种乐趣得要自己亲身体验,别人是没办法
替你感受的。
   
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