高二解析几何---双曲线
已知双曲线C:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点F1、F2，斜率为2√6的直线L过点F2，且与C交于A、B两点，交y轴于M，若A分MF2所形成的比为2 (1)求双曲线C的离心率 (2)若弦AB的中点到右准线的距离为25/3，求双曲线的方程 请求详解，谢谢
已知双曲线C:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点F1、F2，斜率为2√6的直线L过点F2，且与C交于A、B两点，交y轴于M，若A分MF2所形成的比为2 (1)求双曲线C的离心率 (2)若弦AB的中点到右准线的距离为25/3，求双曲线的方程 1): L(AB):y=2√6(x-c) ==>M(0,-2√6c) F2(c,0) A:x(A)=(0+2c)/3=2c/3 y(A)=(-2√6c+2*0)/3=(-2√6c)/3 (2c/3)^2/a^2-[(-2√6c)/3]^2/b^2=1 ==>4b^2*c^2-24a^2*c^2=9a^2*b*2 4(c^2-a^2)*c^2-24a^2*c^2=9a^2(c^2-a^2) ==>4c^4-37a^2*c^2+9a^4=0 (4c^2-a^2)(c^2-9a^2)=0 ==>4c^2=a^2 (舍去) c^2=9a^2 ==>c^2/a^2=9 e=c/a=3 2): c=3a ==>(3a)^2=a^2+b^2 ==>b^2=8a^2 C:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 ==>8x^2-y^2=8a^2 。
。。。。(1) y=2√6(x-c) ==>y=2√6(x-3a) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。
(2) (2)代入(1): 8x^2-24(x-3a)^2=8a^2 ==>x^2-9ax+14a^2=0 ==>x1+x2=9a e(x1+x2)-2a=3*9a-2a=25a 25a/2=25/3 ==>a=2/3 a^2=4/9 ==>b^2=32/9 x^2/(4/9)-y^2/(32/9)=1 。
1): L(AB):y=2√6(x-c) ==>M(0,-2√6c) F2(c,0) A:x(A)=(0+2c)/3=2c/3 y(A)=(-2√6c+2*0)/3=(-2√6c)/3 (2c/3)^2/a^2-[(-2√6c)/3]^2/b^2=1 ==>4b^2*c^2-24a^2*c^2=9a^2*b*2 4(c^2-a^2)*c^2-24a^2*c^2=9a^2(c^2-a^2) ==>4c^4-37a^2*c^2+9a^4=0 (4c^2-a^2)(c^2-9a^2)=0 ==>4c^2=a^2 (舍去) c^2=9a^2 ==>c^2/a^2=9 e=c/a=3 2): c=3a ==>(3a)^2=a^2+b^2 ==>b^2=8a^2 C:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 ==>8x^2-y^2=8a^2 。
。。。。(1) y=2√6(x-c) ==>y=2√6(x-3a) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。
(2) (2)代入(1):8x^2-24(x-3a)^2=8a^2 ==>x^2-9ax+13a^2=0 ==>x(A)+x(B)=9a ==>ex(A)+eX(B)=3*9a=27a (x(A)+x(B))/2=25/3 ==>e(x(A)+x(B))=50 F2A+F2B=e(x(A)+x(B))-2a=50-2a=27a a=2 ==>a^2=4 ==>b^2=8a^2=32 (x^2/4)-(y^2/32)=1 。
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