利用三角函数线证明1＜sina+cosa≤√2其中a是锐角爱问知识人

利用三角函数线证明

利用三角函数线证明
1＜sina+cosa≤√2
其中a是锐角

2***

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我可以，明天证。
当然，我希望有网友先证明（指完全用三角函数线证明）。
--------------------
兑现承诺，证明如下：
如图，a,b互为余角，直角三角形OAB中，OA=OB=1，AB=√2，
OP⊥AP，OQ⊥BQ，
sina+cosa=AP+OP>OA=1；
sina+cosa=sina+sinb=AP+BQ≤AB=√2
当且仅当a=b=45度时等号成立。
所以，a为锐角时，1
		                全部

B***

2012-11-20 16:28:50

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设角a与单位圆交于点P(cosa,sina),作PM⊥x轴于M,则
M(cosa,0),
∵a是锐角，
∴P在第一象限，
sina=MP>0,cosa=OM>0,
sina+cosa=OM+MP>OP=1,
另一个不等式难以用三角函数线证明，改为
（sina+cosa)^=1+2sinacosa=1+sin2a<=2,
∴sina+cosa<=√2.

l***

2012-11-20 14:31:43

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【证明】sina+cosa=√2sin（a+π/4）
因为a是锐角,即0＜a＜π/2，所以π/4＜a+π/4＜3π/4
结合正弦函数图象，显然√2/2＜sin（a+π/4）≤1
因此1＜√2sin（a+π/4）≤√2
即有1＜sina+cosa≤√2 成立。

我***

2012-11-20 14:30:53

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sina+cosa=√2(√2/2sina+√2/2cosa)
=√2[cos（π/4)sina+sin(π/4)cosa]
=√2[sin(a+π/4)]，
∵0＜a＜π/2，∴π/4＜a+π/4＜3π/4，
根据正弦函数的图象可知√2/2＜sin(a+π/4)]≤1，
∴1＜√2[sin(a+π/4)]≤√2，
即1＜sina+cosa≤√2。

燕***

2012-11-20 14:13:58

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