1。
证明：△=b^-4ac=(a+b)^-4*(c^/4)=(a+b)^-c^=(a+b+c)*(a+b-c)
因为a、b、c是△ABC的三边，所以a+b>c
所以△>0
故，此抛物线与x轴一定有两个公共点
2。
对称轴x=-b/2a=(a+b)/2
点R的纵坐标y=c-b^/(4a)=c^/4-(a+b)^/4=[c^-(a+b)^]/4
PQ=(-b+√b^-4ac)/(2a)-(-b-√b^-4ac)/(2a)=√b^-4ac/a
=√[(a+b)^-c^]
所以，PQ/2=√[(a+b)^-c^]/2
tana=|y|/(PQ/2)=|[c^-(a+b)^]/4|/{√[(a+b)^-c^]/2}
=√[(a+b)^-c^]/2=√5
===> (a+b)^-c^=20
===> (a+b+c)*(a+b-c)=20
已知△ABC的周长为10，即a+b+c=10
所以，a+b-c=20/10=2
则，a+b=6,c=4
所以，抛物线方程为：y=x^-6x+4
3。
由（2）知，抛物线对称轴为x=(a+b)/2=6/2=3
所以，b=3
故△ABC三边分别为a=3,b=3,c=4
设△ABC的内切圆半径为r，则：
S△ABC=r*AB/2+r*BC/2+r*AC/2=(AB+BC+AC)*r/2
=(a+b+c)*r/2=5r…………………………………………（1）
设AB边上的高为h，则h=√(9-4)=√5
而S△ABC=AB*h/2=4*√5/2=2√5…………………………（2）
联立（1）（2）得到：
5r=2√5
r=2√5/5
(参见附图)。
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