高一函数奇偶性和单调性的题目
1.已知f(x)=(x+a)/(x^2 +bx+1) [-1，1]为奇函数 （1）求a,b的值 （2）判断f(x)的单调性并用定义证明 2.已知f(x)是定义R上的函数，对于任意的x,y属于R,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)不等于0 （1）求证f(0)=1 （2）判断函数的奇偶性
２。 （１） 在 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中， 令x=y=0，得 2f(0) = 2[f(x)]^2， 因为 f(0) =\= 0，所以可得 f(0)= 1 （２）令 x = 0 , 得 f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y) 因为 f(0) = 1 ，所以 f(-y) = f(y) 所以 f(x) 是偶函数。
1。已知f(x)=(x+a)/(x^2 +bx+1) [-1，1]为奇函数 （1）求a,b的值 （2）判断f(x)的单调性并用定义证明 （１）f(x)是奇函数===> f(0) = 0 ===> a = 0 从而 f(x) = x/(x^2 + bx + 1) 再由 f(-1) = -f(1) ===> (-1)/(2-b) = -[1/(2+b)] ===> b=0 反之 当 a=b=0 时， f(x) = x/(1 + x^2) 显然是奇函数。
（先由两个必要条件得到a、b的值，再验证充分性） （２）用单调性的定义去证明 提示：f(x_1) - f(x_2) = (通分，展开，合并抵消，分解因式)，判断符号，确定大小，下结论，。。。。 。
1) 1,f(-x)=-f(x)--->(-x+a)/(x^2-bx+1)=-(x-a)/(x^2+bx+1) --->-x^3+(a+b)x^2-(ab+1)-a≌-x^3+(a-b)x^2+(ab-1)x+a --->2bx^2-2abx-2a≌0 --->b=0;& ab=0;& a=0 --->a=0;& b=0 2,f(x)=x/(x^2+1).设-1=|x1x2|=x1x2=1-x1x1>=1 x1x1-x20 --->f(x1)2f(0)=2[f(0)]^2 1,f(0)<>0，所以f(0)=1 2,用-x代y,并且用0代x，得到f(-x)+f(x)=2f(0)f(-x) --->-f(-x)+f(x)=-2f(-x) --->f(-x)=-f(x) 所以f(x)是奇函数。
1. f(x)在[-1，1]上是奇函数，所以f(0)=a/(0+0+1) =0, a=0 f(-x)=-f(x), -x/(x^2-bx+1) =-x/(x^2+bx+1), b=0 f(x)=x/(x^2+1). 证明： -f(-x)=x/(x^2+1)=f(x),所以是奇函数。 2. 令x=y=0, 2f(0)=2[f(0)]^2, f(0)=1, f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x), f(x)+f(-x)=2f(x), f(x)=f(-x), 所以是偶函数
