首先要搞清楚什么是无理数。 实数分为两类，有理数和无理数。 有理数是能化成两个非零整数比的实数，能用分数形式表示。而无理数是不能化为不能用分数形式表示的。 要证明根号5是无理数，只要证明根号5不能用分数形式表示。 用反证法证明。 假设根号5能化成分数m/n(其中m,n是整数，m,n互为质数) 那么m^2/n^2=5，则m^2=5n^2，m^2是5的倍数，m就是5的倍数。 设m=5k(k是整数)，则25k^2=5n^2，n^2=5k^2,n^2是5的倍数，即n是5的倍数。 m,n都是5的倍数，这与m,n互为质数矛盾。 所以假设不正确，即根号5不能化成分数形式。 根号5是无理数。
假设√5是有理数,令√5=p/q,其中p,q是整数且最大公约数是1,p/q是有理数.p=√5q,两边平方得p^=5q^,于是p^是5的倍数.所以p也是5的倍数. 设p=5s,s是整数,则25s^=5q^,即q^=5s^,同样得到q是5的倍数. 这样,p,q都是5的倍数，一定有公约数5,这与p,q最大公约数是1矛盾,因此√5不是有理数,即√5是无理数.
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