头痛，数学题又来也。
已知：α+β+γ=π/2 0≤α<π/2, 0≤β<π/2, 0≤γ<π/2 求证：√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5) ≤4√3
预备知识: 1)三元的均值不等式:三个正数的算术平均数不小于它们的平方平均数.就是 (a+b+c)/3=a+b=Pi/2-c--->tan(a+b)=cotc --->(tana+tanb)/(1-tanatanb)=1/tanc --->(tana+tanb)tanc=1-tanatanb --->tanatanb+tanbtanc+tanctana=1. 证明:[√(tanAtanB+5)+√(tanBtanC+15)+√(tanCtanA+5)]/3 =√(tanAtanB+5)+√(tanBtanC+5)+√(tanCtanB+5)=A=B=C=Pi/6时等号成立.所以原不等式成立.
我同意大师讲法
前面yilwohz大师答得很好！请采纳。 我喜爱这种类似问题，我再回答你一种解法玩。 已知：α+β+γ=π/2 0≤α<π/2, 0≤β<π/2, 0≤γ<π/2 求证：√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5) ≤4√3 证明：想得求证，只需证明 [√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5)]^2 ≤48 由柯西不等式可知 [√(tanα×tanβ+5)+ √(tanβ×tanγ+5)+ √(tanγ×tanα+5)]^2 ≤3(tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα+15) 因此，只需证明 3(tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα+15) ≤48 既 tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα ≤1 而 tanα×tanβ+ tanβ×tanγ+ tanγ×tanα = tanα×（tanβ+ tanγ）+ tanβ×tanγ = tanα×tan（β+γ）（1- tanβ×tanγ）+ tanβ×tanγ = tanα×tanα（1- tanβ×tanγ）+ tanβ×tanγ=1 故原不等式成立。
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