X+Y+Z=2根号5
那么X的平方+2(Y的平方)+Z的平方…最小值是?
这是高等数学吧?
由柯西不等式[(a1)²+(a2)²+(a3)²][b1)²+(b2)²+(b3)²]≥(a1b1+a2b2+a3b3)²,得 (x²+2y²+z²)(1+0.5+1)≥(x+y+z)²=20, ∴ x²+2y²+z²≥8, ∴ x²+2y²+z²的最小值是8.
最简单的就是用柯西不等式。 解一:(配方法)由x+y+z=2√5得z=2√5–x-y, 则x²+2y²+z²=x²+2y²+(2√5–x-y)²=2x²+3y²+2xy-4√5(x+y)+20 =2(x+1/2y)²+5/2y²-4√5(x+y)+20, 令x²+2y²+z²=2(x+1/2y+m)²+5/2(y+n)²+k(待定系数法) =2(x+1/2y)²+5/2y²+4mx+(2m+5n)y+5n²/2+2m²+12+k ∴4m=-4√5,2m+5n=-4√5,k=8 ∴m=-√5,n=-2√5/5, 即x²+2y²+z²=2(x+1/2y-√5)²+5/2(y+-2√5/5)²+8≥8 ∴x²+2y²+z²的最小值为8。
解二:(向量法)设空间向量m=(x,√2y,z),向量n=(1,√2/2,1), 则m•n=x+y+z=2√5,|m|=√(x²+2y²+z²),|n|=√(5/2) 因为向量公式|m•n|≤|m||n|,所以2√5≤√(x²+2y²+z²)•√(5/2) 化简得x²+2y²+z²≥8,∴x²+2y²+z²的最小值为8 解三:令F(x,y,z)=x²+2y²+z²+λ(x+y+z-2√5) 偏F/偏x=2x+λ 偏F/偏y=4y+λ 偏F/偏z=2z+λ 令 偏F/偏x=0 偏F/偏y=0 偏F/偏z=0 又x+y+z=2√5 解得 x=2y=z 又x+y+z=2√5 故 x=(4/5)√5,y=(2/5)√5,z=(4/5)√5 这时,x²+2y²+z²=10y²=10[(2/5)√5]²=8 为最小值。
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