先说一些：
已知曲线C1:xy+2x+2=0与曲线C2:x-xy+y+a=0有两个公共点,求经过这两个公共点的直线方程的解法如下:
解：曲线C1方程与曲线C2方程相加得3x+y+2+a=0,这就是所求的直线方程。
理由：(1)两个方程相加后得到的方程表示直线
(2)公共点的坐标满足曲线C1方程与曲线C2方程,则它就满足相加后得到的方程
(3)两点确定一条直线。
  
椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k(PM)、k(PN)时,那么k(PM)与k(PN)之积是与点P位置无关的定值。
抛物线y=2px²的一条弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)过AB的中点作x轴的平行线交抛物线于C。
  
则S△ABC=|y1-y2|³/16p
例题:设O在△ABC内部,且有向量OA+2*向量OB+3*向量OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积比为？
解：以下均表示向量
OA+2OB+3OC=0
OA+2(OA+AB)+3(OA+AC)=2AB+6OA+3AC=0
(2AB+6OA+3AC)×AC=0 => |AB×AC|=3|OA×AC|
=> S△ABC/S△AOC=3
如果题目变为OA+OB+OC=0,熟悉物理的人很容易看出OA、OB、OC可以看成是三个两两成120度角的同等大小的力,把OB延长1倍,OC延长2倍,就可以用这种物理方法解决上题。
  
另外,我们可以把问题推广至三维情形：
O在四面体ABCD内,有OA+2OB+4OC+5OD=0, V(ABCD):V(OBCD)？
实际上向量前面的系数无关紧要,可以取负数甚至无理数,并不妨碍题目的本质。
解决此类问题有一个关键的结论：
设C是AB上一点,则OC=sOB+(1-s)OA,其中s=AC/AB。
  
过抛物线y=2px² (p＞0)的顶点O的两弦OA、OB,OA⊥OB,抛物线顶点O在AB上影射N的轨迹方程为：(x-p)²+y²=p²。
A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点,P1P2是与A1A2垂直的弦。
  
直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程：x²-y²=r²
(以A1A2所在直线为x轴,A1A2的中垂线为y轴)
P1P2是椭圆x²/a²+y²/b²=1 (a＞b＞0)的平行于y轴的弦,A1(-a,0)、A2(a,0)。
  
P1A1与P2A2的交点的轨迹方程为：x²/a²-y²/b²=1, (y≠0)
设O为直角坐标系的原点,点M在定直线x=-p (p＞0)上移动,动点N在线段MO的延长线上,满足|ON|/|MN|=1/|MO|
动点N的轨迹是：(p²-1)x²+p²y²-2px+p²=0 (p＞0)
P(x0,y0)是双曲线x²/a²-y²/b²=1上任一点,过P作两渐近线的平行线,分别与另一渐近线交于Q、R。
  
则平行四边形ORPQ的面积为定值ab/2
1。设AB为过抛物线y=2px² (p＞0)焦点F且倾斜角为α的弦,若A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长|AB|=p+x1+x2=2p/sin²α,其最短弦长为2p,此时α=90°,即AB⊥x轴,|AB|=2p,为抛物线的通径。
  
若1中A、B两点在准线l上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1=90°
1/|AF|+1/|BF|=2/p
共轭双曲线,例如x²/a²-y²/b²=1的共轭双曲线是y²/b²-x²/a²=1,它们有以下性质：
(1)有相同的渐近线x/a±y/b=0
(2)有相同的焦距长,它们的焦点共有四个,都位于x²+y²=a²+b²上
(3)若它们的离心率为e1,e2,则有1/e1²+1/e2²=1
。