所有数学专业学生必修课程：数学分析III analysis calculus 5数学分析III analysis calculus 5数学分析III analysis calculus 5高等代数II algebra algebra 5高等代数II algebra algebra 5程序设计 CS cs 4常微分方程 analysis ODE 3抽象代数 algebra algebra 3复变函数 analysis 函数论 3实变函数 analysis 函数论 3数学模型 applied math applied math 3概率论 P&S probability 3泛函分析 analysis 泛函分析 3数理方程 analysis PDE 3基础力学 applied math applied math 3毕业论文(含专题讨论) applied math applied math 6数学与应用数学专业必修课程：以上＋拓扑学 geometry topology 3微分几何 geometry geometry 3信息与计算科学专业分4个方向，每个方向要求的课程不一样，比如说计算数学方向要求学 微分方程数值解法 以及其他一些计算类的选修课程。
  总的来说，必修课就是数学专业本科的一些骨干课程，是所有合格的数学专业本科生都应当掌握的基础知识。所以也没什么挑肥拣瘦的。。本院的课程设置，信计方向的学生不用修拓扑与微分几何。至于选修课程，本人上过的都组合数学、数论基础，旁听过抽代续论、应用偏微分方程、复分析， etc。
  其实虽然列表里面有这么多选修课，但并不是都能开出来。比如说多复变函数论，本院能开多复变的老师大概也就一两个。。而且实际上本科生能听的课程资源不仅仅是本科课程，研究生课程也可以随意旁听。本人也旁听过一两门研究生课。所以这些课程都在学什么呢？其实作为一个数学学生，感觉这个问题还挺难回答的。
  因为这些东西对我们就像加减乘除四则运算一样自然。同时这些课程内容又很多。我没办法用几句话很好地总结每门课大致在学什么，我就随便说说分析、几何／拓扑、代数3个大方向大致在干些什么吧。说得很粗略，也都是个人见解，不一定准确。不过话还是说在前面：要掌握某个数学分支的内容和方法，只能是通过自己的学习和探索，听别人的介绍不过是走马观花，自己并不能得到真正的理解。
  分析方向：极粗略地讲，就是分析 函数／分布／微分方程的解 等一类数学对象的性质。比如说PDE里面对解进行先验估计，对解的正则性的分析；比如说古典的Fourier分析里面分析某个函数的Fourier级数的收敛性。这个方向的特点在于使用的工具比较细致，主要表现形式在于运算和不等式估计。
  运算过程中的细小错误有可能导致整个结论的错误。这种错误甚至在一些大师的权威教材里面也时常出现。所以分析适合细心同时又有耐心的人学。几何／拓扑方向：本人比较感兴趣的方向。主要是研究曲线、曲面、高维流形、代数簇、scheme等几何对象的定性的或者定量的性质。
  拓扑关注的是比较“软”的性质，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同伦变换下不变的东西。微分几何则更具有“刚性”。微分几何考虑的是在拓扑流形（有可能带奇点，所谓的orbifold）上加个度量（可以是Riemann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考虑跟度量有关的一些几何现象（所谓度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲线的长度，在一般的拓扑空间上是没有这样一把尺子的）。
  至于代数几何，考虑的对象的“刚性”比微分几何更强。复代数簇相当于复流形，复流形之间的全纯变换是非常刚性的变换。所谓刚性，你可以直观地理解为“自由度”，刚性越强，可以选择的余地就越少。代数方向：本人弱项。主要是研究各种代数结构，比如群环模域等等，以及这些代数结构的“表示”。
  初次接触本科抽象代数的同学，可能会觉得代数比较形式化，比较抽象，事实上各种代数对象都是有“数学意义”的，比如说交换代数可以被纳入到（经典的）代数几何的框架内，从而交换代数中的结论都有几何含义。楼主还提到第四个方向，应数方向。但本人不是学应数的，一点都不了解，没什么发言权。
  不过虚的东西还是可以扯一扯的。应数的philosophy就是“把数学应用出去”。应用在什么领域？物理化学生物，经济金融，社科，甚至是音乐艺术，只要能用到数学的地方都有应数的身影。用什么数学工具？无所谓，不管高端低端，直观还是抽象，只要用起来方便且管用就行。
  必须指出的是，以上说的数学方向，并不是严格的数学分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同数学领域并不是互相孤立的，相互之间也会有很多联系，有些联系还是很深刻的。不过本人才疏学浅，也不能多说什么。以上都是个人极粗略的理解，只是为了给非数学科班学生一点点感觉，各位数学大神请手下留情，求轻虐。
  。OK,第二个问题：学了有什么用？最简单的答案是：没什么用。追求纯数的人，基本都不太会关注自己学的东西在实际生活中到底有什么用，就是好玩而已。在这里我突然想quote这个问题：为什么有人喜欢数学？ - 为什么有人喜欢 X。排名第二的答案是一篇我觉得写得还不错的英语文章，同时也很好地解释了包括我在内的相当一部分人学数学的动机。
  如果真想了解数学专业学生的想法的话，这篇文章值得一读～其实很多时候我都感觉学数学和学艺术有点像。艺术是对美的追求，数学是对真理的追求。两者好像都没什么实际应用价值，但是如果社会上没有这两样东西，又总觉得少了些什么～。