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初中几何题

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初中几何题

在ΔABC中,两点M,N在边BC上,己知∠BAM=∠CAN.
求证:AM*AN=AB*AC-√(BM*BN*CN*CM).

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  • 2009-12-30 09:43:09
    证明 作ΔABC的外接圆,延长AM,AN,分别交ΔABC的外接圆于E,F,连BE,CF。
    由ΔABE∽ΔANC,得:AE/AC=AB/AN  
     AB*AC=AE*AN;  (1)
    由ΔABM∽ΔACF,得:AB/AM=AF/AC  
     AB*AC=AM*AF.  (2)
    因为AE=AM+ME, AF=AN+NF,所以
    AB*AC=(AM+ME)AN=AM*AN+ME*AN;   (3)
    AB*AC=(AN+NF)AM=AM*AN+NF*AM.   (4)
    由(3),(4)得:
    (AB*AC-AM*AN)^2=AM*AN*ME*NF   (5)
    由相交弦定理得:
    BM*CM=AM*ME, CN*BN=AN*NF,
    故得:BM*BN*CN*CM=AM*AN*ME*NF  (6)
    由(5),(6)得:
    AM*AN=AB*AC-√BM*BN*CN*CM.
    笔误己修正

    m***

    2009-12-30 09:43:09

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