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初中几何面积问题

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初中几何面积问题

在RtΔABC中,AD是斜边上高,M,N分别是RtΔABD与RtΔACD的内心,连结MN并分别延长交AB,AC于K,L,记RtΔABC与RtΔAKL的面积分别为S,S1。
求证:S≥2S1。

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  • 2008-09-16 10:10:05
    证明  连结AM,DM,DN,AN。
    由于RtΔABD∽RtΔACD,并注意到DM与DN是这两个相似直角三角形直角的分角线,而M与N又分别是它们的内心,所以DM/DN=BD/CD,
    又易知∠MDN=直角,故RtΔABD∽RtΔMDN。
    即有∠NMD=∠ABD,进而知K,M,D,B四点共圆。
    据此∠AKL=∠MDB=45°。
    故ΔAKL是等腰直角三角形。
    因为 AM是∠AKD分角线,∠AKL=∠MDA=45°,AM是公共边。
    所以ΔKAM≌ΔDAM,即AK=AD。
    因为S=AB*AC/2,AD=AB*AC/BC,
    所以2S1=AK*AL=AD^2=AB^2*AC^2/BC^2
    =(AB*AC/2)*(2*AB*AC)/(AB^2+AC^2)≦AB*AC/2=S。证毕。
    

    m***

    2008-09-16 10:10:05

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