高中数学数列问题
已知函数f(x)=(x+3)/(x+1)，设数列{an}满足a1=1,a(n+1)=f(an). 数列{bn}满足 |an-3^0.5|,Sn=ba+b2+b3+……bn.
(1)用数学归纳法证明bn<=[(3^0.5-1)^n]/2^(n-1);
(2)证明Sn<(2*3^0.5)/3.
看样子不求通项也可
a1=1,a2=(1+3)/(1+1)=2,a3=(2+3)/(2+1)=5/3
1)n=1时,b1=|a1-√3|=√3-1,bn=b(k+1)。。。。。。。。。。。。。。。。①
a(k+1)=f(ak),求得ak=[3-a(k+1)]/[a(k+1)-1]
bk=|ak-√3|=|[3-a(k+1)]/[a(k+1)-1]-√3|
=|(√3+1)[√3-a(k+1)]/[a(k+1)-1]|
(√3-1)/2*bk=|[√3-a(k+1)]/[a(k+1)-1]|
=b(k+1)|1/[a(k+1)-1]|。
。。。。。。。。。。。。。。②
比较①②可以发现只要证明
|1/[a(k+1)-1]|>=1,|a(k+1)-1|0,显然a2,a3。。。
,ak+1都大于0,从而2/(ak+1)>0,a(k+1)>1
而f(x)=(x+3)/(x+1)=1+2/(x+1)当x>1时,f(x)-1|1/[a(k+1)-1]|>=1
②>=b(k+1),即①得到证明
有就是当n=k+1,bn<=[(√3-1)^n]/2^(n-1)成立
得证
第二问用第一问的结论和等比数列求和很容易得到,就不写了。
答：(1)f(x)=3x+1分之x和An+1=f(An)联立，两边求倒数，很快发现An分之1是公差为3，的等差数列。 （2）根据上问求出An分之1的通项为3n-2。...详情>>
答：Time prove all this详情>>
