高中数学
已知数列{an}的首项是a1=5,前n项和为Sn,
且S(n+1)=2Sn+n+5
(1)证明数列{an+1}是等比数列
(2)令f(x)=a1x+a2x^2+……+anx^n,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n^2-13n的大小.
这应该是05年的高考题。 解：(1)由已知S(n+1)=2Sn+n+5。 当n≥2时,Sn=2S(n-1)+n+4。 两式相减,得S(n+1)-Sn=2[Sn-S(n-1)]+1。 即a(n+1)=2an+1,从而a(n+1)+1=2(an+1) 当n=1时,S2=2S1+1+5 所以当a1+a2=2a1+6。
又a1=5,所以a2=11。从而a2+1=2(a1+1)。 故总有a(n+1)+1=2(an+1) n∈N*。 又a1=5,所以an+1≠0,从而[a(n+1)+1]/(an+1)=2 即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列。
(2)2f'(1)-(23n²-13n) ``=12(n-1)·2^n-12(2n²-n-1) ``=12(n-1)·2^n-12(n-1)(2n+1) ``=12(n-1)[2^n-(2n+1)]……(1) 当n=1时,(1)式=0,所以2f'(1)=23n²-13n； 当n=2时,(1)式=-120。
又2^n=(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+……+C(n,n-1)+C(n,n)≥2n+1。 所以(n-1)[2^n-(2n+1)]>0,即(1)>0。 从而2f'(1)>23n²-13n。
已知数列{an}的首项是a1=5,前n项和为Sn, 且S(n+1)=2Sn+n+5
(1)证明数列{an+1}是等比数列
由 S(n+1) = 2Sn + n + 5
得 Sn = 2S(n-1) + (n-1) + 5
相减得 a(n+1) = 2an + 1（可以验证当n=1时，此式也成立）
两边都加1，得 a(n+1) + 1 = 2(an + 1)
又 a1 + 1 = 5 + 1 = 6
所以 数列{an + 1}是等比数列（首项为6，公比为2）
(2)令f(x)=a1x+a2x^2+……+anx^n,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n^2-13n的大小。
由(1)得 an + 1 = 6 * 2^(n-1) = 3 * 2^n
所以 an = 3 * 2^n - 1
因为 f(x)=a1x+a2x^2+……+anx^n
所以 f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 。
。。 + nanx^(n-1)
f'(x) = a1 + 2a2 + 3a3 + 。。。 + nan
注意到：kak = k(3*2^k - 1) = 3k*2^k - k ，所以
f'(1) = 3(1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + 。
。。 + n*2^n) - (1+2+3+。。。+n)
= 3P - n(n+1)/2
2f'(1) = 6P - n(n+1)
其中 P = 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + 。。。 + n*2^n
2P = 1*2^2 + 2*2^3 + 。
。。 + (n-1)*2^n + n*2^(n+1)
故 -P = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 。。。 + 2^n - n*2^(n+1)
= 2^(n+1) - 2 - n*2^(n+1)
故 P = (n-1)*2^(n+1) + 2
所以 2f'(1) = 6(n-1)*2^(n+1) + 12 - n(n+1)
记 Ｃ = 2f'(1) - (23n^2 - 13n)
= 6(n-1)*2^(n+1) + 12 - n(n+1) - (23n^2 - 13n)
= 6(n-1)*2^(n+1) + 12 - 24n^2 + 12n
= 6[(n-1)*2^(n+1) - 2(2n^2 - n - 1)]
= 6(n-1)[2^(n+1) - 4n - 2]
= 12(n-1)(2^n - 2n - 1)
当 n = 1 时，Ｃ = 0 ，得 2f'(1) = 23n^2 - 13n ；
当 n = 2 时，Ｃ 2 时，由二项式定理得
2^n - 2n - 1
= (1+1)^n - 2n - 1
= 1 + n + 。
。。
+ n + 1 - 2n - 1
> 0 得 Ｃ > 0 ，得 2f'(1) > 23n^2 - 13n ；
如果你没有学过二项式定理的话，那么当 n > 2 时，2^n - 2n - 1 > 0 的证明可由数学归纳法证明：
当n=3时，显然 2^3 > 2*3 + 1
假设 n=k时，有 2^k > 2k + 1
则n=k+1时，2^(k+1) = 2 * 2^k > 2(2k+1) = 4k + 2 > 2(k+1) + 1
由数学归纳法原理知 n > 2 时，2^n > 2n + 1 总成立
。
问：等比数列数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,A(n+1)=n+2/n,证明:{Sn/n}是等比数列
答：这个题目可以试着用数学归纳法进行证明详情>>
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