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已知 n≥2n∈N

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已知 n≥2n∈N

.已知 n≥2,n∈N. 当x≠kπ(k∈Z)时,求证 tanxtan2x+tan2xtan3x+…已知 n≥2,n∈N. 当x≠kπ(k∈Z)时,求证 tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx=tannx/tanx -n

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  • 2006-05-04 19:27:21
      
    两边同乘以tanx 只要证明左右两边相等,原命题自然得证
    证明 
    左边=tanxtanxtan2x+tanxtan2xtan3x+。。。+tanxtan(n-1)xtannx 
    tanxtanxtan2x=[1-2tanx/tan(2x)]tan(2x)
    =tan(2x)-2tanx 
    tanxtan2xtan3x
    =[1-(tanx+tan2x)/tan(3x)]tan(3x)
    =tan3x-tanx-tan(2x) 
    。
      。。 tanxtan(n-1)xtan(nx) =[1-(tanx+tan(n-1)x)/tan(nx)]tan(nx) =tan(nx)-tanx-tan(n-1)x 将上述各式相加得: tanxtanxtan2x+tanxtan2xtan3x+。
      。。
      +tanxtan(n-1)xtannx =tan(nx)-ntanx 故:tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx=tannx/tanx -n 我这里利用了: tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) 所以,tanatanb=1-(tana+tanb)/tan(a+b) 。

    菜***

    2006-05-04 19:27:21

其他答案

    2006-05-16 21:37:53
  • 由正切差角公式:tan(n-1)xtannx=[tan(n-1)x-tannx]/tan[(n-1)x-nx]-1=[tan(n-1)x-tannx]/tan(-x)-1=[tannx-tan(n-1)x]/tanx-1,代入求证式的左边,相邻两项正负相消,即可证得.

    z***

    2006-05-16 21:37:53

  • 2006-05-04 19:13:53
  • tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx
    = [(tan2x-tan2x)/tanx -1]+[(tan3x-tan2x)/tanx -1]+...
      +{[tannx-tan(n-1)x]/tanx -1}
    = (tannx-tanx)/tanx -(n-1)
    = tannx/tanx -n
    注:tan(A-B) =(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
    ==> tanAtanB =(tanA-tanB)/tan(A-B) -1
    

    m***

    2006-05-04 19:13:53

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