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2011-04-11 09:11:59

•   数学模型与数学建模教学例
  《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：义务教育阶段的数学课程不仅要考虑学生自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将数学实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。
    “数学模型”这个概念首次在我国义务教育课程中出现，因此关于数学模型与数学建模的教学,是我们不容忽视必须面对的一个问题。下面结合本人的教学实际谈一些体会。
  一、数学模型与建立数学模型：
  我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。
    数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
    数学模型可以是代数式、方程、方程组、不等式、不等式组、函数或其它数学式子，也可以是一个基本几何图形，也可以是数学思考的基本思想、解决问题的基本方法、运算定律。数学建模就是建立数学模型。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
    数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
  二、建立数学模型的原则：
  第一、用数学建模的理念来教学数学课程本身的内容。初中数学教学应努力体现从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程。
    数学课堂教学中学习素材的呈现力求体现“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式，围绕所要学习的数学主题，选择有现实意义的、对学生具有一定挑战性的、能够表现重要数学意义的、有利于一般能力发展的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的数学知识、方法与技能，为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径。
    例如，在数与代数的教学中，我们应该把“审——设——列——解——验——答”这一解决应用题的基本方法，当成初中的一种重要数学模型。如果学生在列一元一次方程解应用题中掌握了这一数学模型，那么当学生面对列一元一次不等式解应用题等问题情境时，就会联想到这一数学模型，就会应用这一数学模型来解决列一元一次不等式解应用题这类问题。
    
  第二、指导学生初步掌握对各种不同的现象和情境建立数学模型的技能和技巧。
  例  探索规律。（1）计算并观察下列每组算式：
                         
  （2）已知25×25=625，那么24×26=（      ）。
    
  （3）你能举出一个类似的例子吗？
  （4）从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
  （5）你能证明自己所得到的规律吗？
  这个例子通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学建模的过程。
    
  第三、把数学模型作为内心思维活动的外部支撑点，广泛运用数学模型来发展学生的数学思维。除数学定义、定理、公式、定律外，一些常见的基本的图形也是重要的数学模型。如下图，在ΔABC中，∠ACD=∠B ，则AC2=AD×AB。这一图形在相似三角形、圆的综合题中
                   
  大量使用到，因而可以把它看作一个数学模型。
    如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。（1）当ΔPCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE×DF，为什么？（2）的分析：结论AD2=DE×DF满足上面提到的模型的格式，由模型知：连结AE只要满足∠E=∠DAF即可，因为∠E=∠DCA，所以只要∠DAC=∠DCA，当AD=DC时，结论成立。
    本题因为有数学模型做基础，思考显得很快捷，做到了水到渠成。
  三、建立数学模型的的方法：
  初中数学中常见的建模方法有：对现实生活中普遍存在的等量关系（不等关系），建立方程模型（不等式模型）；对现实生活中普遍存在的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型；涉及图形的，建立几何模型…… 
  ■建立方程模型 
  方程应用题可以与现实世界的许多问题发生联系，是初中阶段学习数学建模方法的最好课例。
    在建立方程模型时，应着重培养学生如何学会寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系建立方程。
  例  （北京市2003年中考数学试题第23题）在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
  甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆
  　　乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆
  　　丙同学说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。
    
  　　请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
  　　解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆
  　　根据题意，得3x-(x+2000)=2×10000解这个方程，得x=11000x+2000=13000
  　　答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时13000辆。
    
  　　此题已知三个常量之间的关系，通过建立方程模型来解决。
  ■建立函数模型 
  在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型。一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决。
  例  有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活的时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。
    现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元；据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
    （1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式；（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于X的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本 –放养支出费用）？最大利润是多少？（2002年浙江省）
  解（1）P=30+X
  （2）放养X天后，死蟹的重量为10X千克，销售额为200X元；活蟹的重量为（1000-10X）千克，销售额为（1000-10X）（30+X）元，所以Q=（1000-10X）（30+X）+200X=-10X2+900X+3000
  （3）设放养X天后的利润为Y元，由题意知Y=Q-30000-400X=-10X2+500X，配方得
  Y=-10（X-25）2+6250 所以当X=25时，Y的最大值是6250。
    即这批蟹放养25天后出售，所获得利润最大，最大利润为6250元。
  此题是通过建立二次函数模型来解的。
  ■建立几何模型 
  几乎每一个几何定理都有一个对应的图形，这个图形就可以看作几何的基本图形。只要熟悉了这些定理及其图形，就可运用这些图形作为几何模型来解决一些实际问题。
    
  四、建立数学模型的基本步骤：
  初中的数学模型教学就是从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题，其基本步骤是：
     （一）创设问题情景——建摸准备
  数学都来源于生活，一方面数学模型是关于现实世界为某种目的的一个抽象的、简化的数学结构。
    另一方面建立数学模型的目的是为了有效地描述自然现象和社会现象，从而解决实际问题。因此任何一个数学模型的建立都应有具体的显示情景，教师要创造一个学生比较熟悉的或亲身经历的含有数学问题的现实情景，让学生了解问题的实际背景，搜集处理各种信息，提出数学问题，为建立数学模型作准备。
    
     （二）、观察、比较、分析、抽象、概括——建立模型
  根据建摸对象的特征和建摸的目的，对实际数学问题或现实情景，进行观察、比较、分析、抽象、概括，进行必要的、合理的假设，运用形式化的数学语言表达出数学概念或用数学符号刻划出一种数学结构。
    这是建立数学模型的关键阶段，教师应该给学生提供充分的时间，让学生进行自主、合作、探究，教师给予指导，从而建立数学模型。
     （三）解释、应用——模型的应用
      建立数学模型的目的是更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地认识自然、社会，改造自然、社会。
    通过建立数学模型可以教给学生一些数学思想方法，为将来进一步学习和将来的社会实践打下坚实的基础。因此对所建立的数学模型进行合理的解释、应用。才能使所建立的数学模型具有生命力。
   
  参考文献
  1、中华人民共和国教育部  《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》。
    
  2、端方林  《应用题中的数学建模举隅》  《中学数学教与学》2004年第9期。
  3、练剑华《建立数学模型——一种重要的数学素质》《中学数学杂志》2004年第4期。
  4、舒瑞林  《在数学教学中怎样建立数学模型》。
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  金***

  2011-04-11 09:11:59

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