设直角三角形的两条直角边分别为a,b,直角的角平分线为t,则斜边上的中线为(1/2)√（a^2+b^2). 三角形面积=(1/2)(a+b)tsin45°=ab/2, ∴t=ab√2/(a+b). 问题转化为(1/2)√（a^2+b^2)>=ab√2/(a+b)吗? (1) (1)^2*4(a+b)^2,得（a+b)^2*(a^2+b^2)>=8a^2*b^2, (2) ∵(a+b)^2>=4ab>0,a^2+b^2>=2ab>0, ∴(2)式成立，(1)式成立，命题成立。
求证直角三角形斜边上的中线大于或等于直角的角平分线 如图 设Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=c、BC=a，AC=b。点D为AB中点，点E在AB上且CE为∠C平分线 求证：CD≥CE 由勾股定理得到：c=√(a^2+b^2) 而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以： CD=c/2=√(a^2+b^2)/2 已知CE为∠C平分线，所以由角平分线定理有：AE/BE=AC/BC=b/a 所以，BE=(a/b)*AE 而，BE+AE=AB=c 所以：(a/b)*AE+AE=[(a+b)/b]*AE=c 所以，AE=bc/(a+b) 那么，在△ACE中由余弦定理有：CE^2=AC^2+AE^2-2AC*AE*cos∠A =b^2+[(bc)^2/(a+b)^2]-2*b*[(bc)/(a+b)]*(b/c) =b^2+[b^2c^/(a+b)^2]-2b^3/(a+b) =[b^2/(a+b)^2]*[(a+b)^2+c^2-2b(a+b)] =[b^2/(a+b)^2]*[a^2+b^2+2ab+(a^2+b^2)-2ab-2b^2] =[b^2/(a+b)^2]*(2a^2) =(2a^2b^2)/(a+b)^2 那么，CD^2-CE^2=(a^2+b^2)/4-2a^2b^2/(a+b)^2 =[(a^2+b^2)*(a+b)^2-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]………………（*） 因为：(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0（当且仅当a=b时取等号） 所以，a^2+b^2≥2ab…………………………………………（1） 同理：(√a-√b)^2=a+b-2√ab≥0 所以，a+b≥2√ab 所以，(a+b)^2≥4ab…………………………………………（2） 将(1)(2)代入(*)得到： CD^2-CE^2≥[2ab*4ab-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]=0 所以，CD^2≥CE 即，CD≥CE 【当且仅当a=b，即△ABC为等腰直角三角形时取等号。
此时CD、CE重合】。
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