证明P点在ΔABC外接圆上的充要条件是:[S为ΔABC的面积] PA^2*sin2A+PB^2*sin2B+PC^2*sin2C=4S 运用欧氏空间点距关系式直接可得: P点在ΔABC外接圆上的充要条件是: ︱1 PA^2 PB^2 PC^2︱ ︱1 0 c^2 b^2︱=0 ︱1 c^2 0 a^2︱ ︱1 b^2 a^2 0︱ a^2*(b^2+c^2-a^2)*PA^2+b^2*(c^2+a^2-b^2)*PB^2+c^2*(a^2+b^2-c^2)*PC^2=2(abc)^2, PA^2*sin2A+PB^2*sin2B+PC^2*sin2C=2S 。
另外可用三角形惯性矩不等式的取等条件也可证: (x+y+z)*(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=a^2*yz+b^2*zx+c^2*xy (1) 取x=sin2A,y=sin2B,z=sin2C, 由恒等式: sin2A+sin2B+sin2C=2S/R^2, a^2*sin2B*sin2C+b^2*sin2Csin2A+c^2*sin2Asin2B=4S^2/R^2 PA^2*sin2A+PB^2*sin2B+PC^2*sin2C>=2S。
(2) 不等式(2)的取等条件是:P与ΔABC外心重合或P在ΔABC的外接圆上。 。
答：经验证，等式右边应该是4S 为书写方便，记BC=a,CA=b,AB=c；PA=x,PB=y,PC=z P在外接圆上的充要条件是（由托勒密定理） ax-by-cz...详情>>
