斐波那契数列恒等式
斐波那契数列恒等式
设{Fn}为Fibonaci数列，证明恒等式
2^(n-1)*F(1)+2^(2n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1).
设{Fn}为Fibonaci数列，证明恒等式:
2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1)。
题目有误，己修正。
证明 因为 F(n)=(α^n-β^n)/√5 ，α=(1+√5)/2 ，β=(1-√5)/2。
易证:
(α/2)/(1-α/2)=α^3; (β/2)/(1-β/2)=β^3。
于是应用等比数列公式:
F(1)/2+F(2)/2^2+…+F(n-1)/2^(n-1)+F(n)/2^n
=(1/√5)*[(α-β)/2+(α^2-β^2)/2^2+…+(α^n-β^n)/2^n]
=(1/√5)*{(α/2)*[1-(α/2)^n]/[1-(α/2)]-(β/2)*[1-(β/2)^n]/[1-(β/2)]}
=F(3)-F(n+3)/2^n=2-F(n+3)/2^n。
两边同乘以2^n得:
2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1)。 证毕。
关于斐波那契数列还有如下恒等式
3^(n-1)*F(2)+3^(n-2)*F(4)+…+3*F(2n-2)+F(2n)+F(2n+4)=3^(n+1)。
3^(n-1)*F(1)+3^(n-2)*F(3)+…+3*F(2n-3)+F(2n-1)+F(2n+3)=2*3^(n+1)。
。
为了澄清一个事实，我做了一个，见附件！！
估计你所给的恒等式中有点笔误。按照各项的规律，第二项似乎不对。看是不是应该如下： 2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1) 首先，我们应该了解Fibonaci数列最简单的一点特性，它是形如： 1、1、2、3、5、8、13、……………… 即，从第三项起，每一项等于前两项之和。
则： F(n+3)=F(n+2)+F(n+1)……………………………………（1） 证明：（利用数学归纳法） i）当n=1时，等式左边=F(1)+F(4)=1+3=4 等式右边=2^(1+1)=2^2=4 所以，当n=1时，恒等式成立。
ii）假设当n=k(k>2)时，恒等式成立，那么： 2^(k-1)*F(1)+2^(k-2)*F(2)+…+2*F(k-1)+F(k)+F(k+3)=2^(k+1) ===> 2^(k-1)*F(1)+2^(k-2)*F(2)+…+2*F(k-1)+F(k)=2^(k+1)-F(k+3) 上式左右两边都乘以2，得到： ===> 2^(k)*F(1)+2^(k-1)*F(2)+…+4*F(k-1)+2F(k)=2^(k+2)-2F(k+3)…………………………………………………………（2） iii）那么，当n=k+1时，左式 =2^(k)*F(1)+2^(k-1)*F(2)+…+4*F(k-1)+2F(k)+F(k+1)+F(k+4) 将(2)式代入到上式，得到： 左式=2^(k+2)-2F(k+3)+F(k+1)+F(k+4)……………………（3） 由(1)式有： F(k+4)=F(k+3)+F(k+2) ===> F(k+4)-F(k+3)=F(k+2) ………………………………（4） (4)代入(3)得到： 左式=2^(k+2)-F(k+3)+F(k+1)+F(k+2)……………………（5) 而由(1)式又有： F(k+3)=F(k+2)+F(k+1) ===> -F(k+3)+F(k+1)+F(k+2)=0……………………………（6） 再(6)代入(4)得到： 左式=2^(k+2)=2^[(k+1)+1] 所以，当n=k+1时，原恒等式也成立。
综上述，对于Fibonaci数列{Fn}，等式2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1)恒成立。
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