定义： 设两直角坐标系(S')和(S), (S')为运动系，(S)为观测系。(S')中的长度l'为固有长度，时间t'为固有时间; l', t'表示(S')相对于(S)静止状态下的长度和时间； 当(S')相对于(S)运动时，在(S)中测量(S')中的长度l'和时间t'; 测量结果为l、t，则l 观测长度，t为观测时间，l、t均为观测值。
下面给出解析时空理论的两条基本原理：
(I)。 时空面积相等原理----运动系(S')及观测系(S)中的长度与时间的乘积为时空面积S'或S。运动系(S')相对观测系(S)静止或运动状态下，时空面积是不变量；即对任意(l', t'), 均有等式 l't'= l t 成立，上述原理的坐标方法表述为：
(II)。
时空偏转原理-----若运动系(S')相对观测系（S）运动，在某一时刻相对速度为u或u'，那么运动系(S')与观测系（S）沿相对运动产生偏转，偏转角q 为时空偏转角，时空偏转角的大小与相对速度u （或u'）有关，其正弦值与相对速度运动方向u（或u'）成正比，即sinq =u/c， （或sinq = u'/c'），c为光速。
时空面积不变原理(I)和时空偏转原理(II)是我们研究时空问题的基本原理。根据这两条原理，我们下面找出(S')与（S）的时空关系式。
设(S')与（S）在某时刻原点重合，(S')与（S）的相对速度为u, l与u方向相同，根据原理(II), (S')与（S）产生偏转，如图1-3：
从图中我们可以得到以下结果：
OD = OAcosq
令： OD = l OA = l'
则上式 l = l'cosq (1-1)
又根据原理(I)，(S')中的时空面积 S'ABCO与（S）的SDEFO 相等，
所以 t l= t'l' , t = t' (l'/l), 将(1-1)式代入
得 t = t'/ cosq (1-2)
由原理 (II)知: sinq =u/c,
则式(1-1) 和( 1-2 ) 为:
图1-3表明关系式cosq = l/l’=t’/t以及其中的q 与原理(II)sinq =u/c中的q 相同。
(1–3)、(1–4) 这两个等式是狭义相对论的基本公式，也是解析时空理论研究时空问题的出发点。在本文中，您将逐步看到狭义相对论的普遍结论---动尺缩短，动钟延缓效应，正是由于时空偏转所致，狭义相对论的收缩因子即为解析时空的偏转因子。
下面我们求出(S')与(S)的速度关系式（非坐标关系式）：
由( 1-1 )式: l = l' cosq , 我们选 l1 和 l2 (l1¹ l2)
则 l1 = l'1cosq , l2 = l'2cosq
两式相减 l2- l1= (l'2- l'1) cosq
D l21= D l'21 cosq (1-5)
当 Dl21 ® 0时,
dl = dl'cosq (1-6)
同理由(1-2)式可得到
dt =dt'/ cosq
dt'/dt = cosq (1-7)
则式(1-6)关于 t 微分有
dl/dt = cosq dl'/dt
将 (1-7)代入则有
dl/dt = cos2q dl'/dt'
\ u = u'cos2q (1-8)
当 u 与 u'相反时,
u= -u'cos2q (1-9)
(1–8)式表示的含义为当(S')相对（S）运动时，若(S')内有一运动速度u'，那么这个速度在（S）内的相应速度为u（u不是坐标意义上的ux），u的数值由(1–8)式决定。
--------------------------------------------------------------------------------
本文的前面提到了洛伦兹变换存在理论缺陷，下面我们就讨论这个问题: 在我们所见到的所有教科书及介绍相对论的书籍中，关于洛伦兹变换都用到下面的两个方程式，洛伦兹变换的全部结果也是由这一方程组联立得出的结果：
(1-11)式是将(1-10)式中所有不带撇的量与带撇的量对换，且 u=-u', u'/c'=u/c。
洛伦兹变换并没有解释为什么 u=-u'，这是因为u=-u'是我们千百年来熟知的“常识”。即(S')与（S）间的相对速度大小相等，方向相反。[注：在教科书一般都这样写：将不带撇的量与带撇的量对换，并把u换成-u，实际上仍是 u=-u']
(1-10)与(1-11)方程组看上去似乎没什么问题，首先我们把上式写成如下形式：
式中
将(1–13) 乘以 cosq 再整理后有：
由式(1–2)t'=tcosq 代入(1–15)，并将(1–14)、(1–15)两式相减
ut-ut cos2q = x-x cos2q
ut(1- cos2q ) = x(1- cos2q )
x = ut 或 t = x/u
这是我们得到方程的一个解，但这个解对我们来说没有什么意义。
我们还可以得到方程组的其它解（包括洛伦兹变换），也就是说方程组(1–10)、(1–11)是多解方程组。由线性代数方法分析知齐次线性方程组(1–10)、(1–11)的秩 r < n ,故该方程组有无数解；这样，洛伦兹变换的正确性是值得怀疑的。经慎重的分析后，我们得出以下结论：
洛伦兹变换中有关(S')与（S）的运动方程的解是个近似解。
洛伦兹变换（1-11）式中，关于ut'一项，由于u 与t'的单位不同，ut'不能表示两坐标系(S')与（S）原点的O'与 O的距离。故该方程的表达式有问题。
洛伦兹变换中，认为相对速度（或称牵连速度） u = -u'是不正确的；在低速时（u<
对于u ¹ -u' 问题，必须做进一步的说明。例如：一列从火车站驶出的火车，速度为80千米/小时，火车上的人与车站上的人都认为这个速度即为彼此间的相对速度，u与-u'是“当然相等”的。但问题并不这么简单，火车在对地面坐标系的速度为80km/h，而在火车这个运动系上的观测者测出车站的退行速度为80km'/h'，80km/h与80km'/h' 完全是两个不同概念，其关键问题在于m/h与m'/h'是否相等？火车上的人测量速度用的米尺和钟表与地面上的人用的米尺和钟表究竟是否相同？
由于我们生活在一个低速世界，我们无法感受到不同坐标系对于同一速度的描述有何差异，目前也找不到能感受这一差异的运动系(S')，我们周围的事物的运动速度与光速c相比实在太小。
因此，我们会轻易地得出结论：火车上下的两个人所用的尺子和钟表没有区别，故u=-u'（将相对速度绝对化），这是低速思维的必然产物。实际上，在洛伦兹变换中，我们已经意识到在牵连速度ue并非远小于光速c时，描述物体的运动不能简单地用速度合成法 va = ue + vr' 。
但在如何看待牵连运动的问题上，洛伦兹变换仍没有完全摆脱低速思维的影响，这是由于牵连运动u ¹ -u'比其他问题更难以理解。在一般情况下，不同坐标系的观察者描述"同一事件"诸如时间、空间(包括点)、速度和加速度等，其结果都是不同的。没有绝对的时间、空间、速度和加速度，牵连速度也不例外。
之所以有这样的结论，根本原因在于运动系(S')与观测系（S）由于存在相对运动而发生了整个时空体系的偏转，（m/h与 m'/h'不等），所以，u与u'的方向是不同的，需要加偏转系数cos2q, u与u'方可相等。(关于u ¹ -u'问题的详细讨论请见本文附页）
因此，我们必须对洛伦兹变换（1-12），（1-13）方程组进行修改。
即(S')与（S）的时空关系应由以下方程组确定：
x = x'cosq + ut (1-16)
x'= xcosq + u't' (1-17)
将（1-16）式中带撇的量与不带撇的量对换即为（1-17），表示在不同坐标系下时空的对称性，这也是在不同参照系下对描述同一类时空事件的必然要求。
而洛伦兹变换（1-12），（1-13）式为满足所谓u与u'的对称性，两个方程式却不对称，显然在不同坐标系下其结论是不同的。因此，洛伦兹变换不可能得出‘唯一’的正解！
由(1–17)得 x=(x'-u't')/cosq 再代入 (1–16)
t=(x'sin2q-u't')/ucosq
对x , t 分别微分
dx=(dx'-u'dt')/cosq
dt=(dx'sin2q -u'dt')/ucosq
再求对 t 的微分
由式(1–9): u= -u'cos2q
再根据原理（II）sinq = u'/c' 分别 代入上式，整理后得出：
从上式我们可以看出：若令 u=-u'， 且cosq =1时，又回到洛伦兹变换。
也就是说洛伦兹变换是（1-18）式的近似解。 从（1-18）式中我们可以解出关于v' 的关系式：
(1–18)，(1–19)式看上去似乎与洛伦兹变换相似，但它比洛伦兹变换更为深刻地反映了(S')与（S）的时空关系，它表达的含义也超出了我们一般想象。
如当相对速度u'为光速时，cosq =0, 时空偏转90度；在（1-18）式中，v = 0,，此时我们观察不到(S')系的任何运动，包括光速。显然(S')是处于“黑洞”状态（即所谓时空奇点）。
我们以下研究运动系(S')与观测系（S）的坐标变换的问题。
若运动系(S')相对观测系（S）运动，在某一时刻(S')的原点O'与（S）的原点O重合，相对速度方向与y相同，根据原理（II），则(S')与（S）发生偏转，偏转角为q ，(o–xy)系与(o'–x'y')系的旋转角同为q ，(如图1-4)根据直角坐标系的旋转公式：
则
x = x'cosq -y'sinq (1-20)
y = x'sinq+ y'cosq (1-21)
(1-20) 和 (1-21) 式即为 (S')与 (S)的空间关系式。
在 (1-21)中, 令 x' = c't', sinq = u'/c' (原理II)
即 y = y'cosq + u't' (1-22)
若将(1–22)式中的y, y' 改写为x, x'，则(1–22)式与洛伦兹变换式(1–10)的时空表达方式相同，只不过洛伦兹变换描述相对运动空间用ut，而不是(1–22)中的u't' 。
我们还注意到(1–20)式中的 x ¹ x' （这里的x相当于洛伦兹变换中的y，y表示垂直相对运动方向的量），也就是说时空偏转时垂直于相对运动方向的量x也要发生变化，而不是洛伦兹变换中的y=y'，z=z'，这两种变换的不同之处在于对时空偏转的不同认识;尽管洛伦兹变换中没有涉及时空偏转概念，但在其关系式中，无意识地应用了旋转法则，如(1-10），同时又得出垂直运动方向上的量不变的结论，即y=y'，z=z'。
这一结论显然是来自日常经验而缺乏理论依据的，或者说这一结论只对一维空间成立。由于洛伦兹变换是研究三维空间的关系式，因此洛伦兹变换中关于y=y'，z=z'的结论不能成立。我们归纳地讲，洛伦兹变换是解析时空理论有关时空旋转变换概念的特例，属于一维时空旋转变换，本文中式（1-20）（1-21）属二维空间平面旋转变换公式，而伽利略变换是零维旋转（无旋转变换）。
一般情况下，描述(S')与（S）的时空问题，零维、一维、二维旋转变换的近似程度是不同的，尤其是在高速领域，零维旋转变换--伽利略变换已基本不再适用。如洛伦兹变换常引用的0。9c+0。9c的例子即是典型的概念错误，当某物体的速度达到0。9c时，时空偏转很大角度，若其再射出0。
9c的另一物体，则被射出物体的速度应为0。9c’，其在原方向上的速度分量会远小于0。9c！因此，对于高速运动的坐标系(S')的精确描述，应采用二维或三维旋转变换公式。
物理学与数学有不同的地方，只要物理方程的结论与实验结果‘在一定精度上’或‘在误差允许范围内’相符，人们就接受它。
根据洛伦兹变换原理设计的粒子加速器至今还在应用，说明其实用价值。解析时空理论并没有全部否定洛伦兹变换，只是指出它的缺陷，它只是个近似公式，正象相对论的出现，使牛顿理论成为其特例，因为相对论对客观的描述比牛顿理论更广泛、更精确。
以下我们求出(S')与（S）的二维旋转变换的速度关系式：
由（1-20）和（1-21）得到，
x = x'cosq - y'sinq
y = x'sinq + y'cosq
对两式分别微分
再分别对时间t 微分
将dt'/dt=cosq 代入上式即得到：
式（1-23）, （1-24）为二维平面旋转的速度公式，上述公式是用几何法导出的，以下我们用矢量法加以证明：
上式推导过程引用了单位矢量导数的布桑公式，整理后
结果与（1-23），（1-24）相同，证毕。
。
全部
