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2009-03-15 11:09:46

•   已知椭圆X^2+4Y^2=4的长轴上的一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于此椭圆的等腰直角三角形，求这个三角形的面积
  椭圆为：(x^2/4)+(y^2/1)=1
  所以，a^2=4,b^2=1,c^2=a^2-b^2=3
  不妨设长轴顶点A(2,0)，焦点F(√3,0)
  设，以A为直角顶点的等腰直角三角形的另外两个顶点分别为B、C
  连接BC，交OA于点D
  则，由对称性知，AD⊥BC
  设点D的横坐标为m，则B、C的横坐标也是m，且：AD=2-m
  因为B、C在椭圆上，所以：
  4m^2+y^2=4
  则，By=2√(1-m^2)
  因为△ABC为等腰直角三角形，所以：BD=AD
  所以，2√(1-m^2)=2-m
  解得：m=0,或者m=4/5
  显然，当m=0时，B、C即为短轴的顶点，那么此时：
  AB^2=AC^2=a^2+b^2=5
  BC^2=(2b)^2=4b^2=4
  △ABC就不是直角三角形
  所以，m=4/5
  此时，AD=2-m=3/5
  所以，△ABC的面积=(1/2)*BC*AD=(1/2)*2AD*AD=AD^2=9/25。
    

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  T***

  2009-03-15 11:09:46

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