初三圆综合题
已知⊙Ｏ是等边△ＡＢＣ的内切圆，Ｄ、Ｅ、Ｆ是切点。⊙Ｏ１过Ｏ点且分别切ＡＢ、ＡＣ于点Ｈ、Ｇ，ＤＨ＝３ｃｍ。若⊙Ｏ２与ＤＥ有交点且分别与ＡＢ、ＡＣ相切，设⊙Ｏ２半径为x，求x的取值范围。
设⊙O的半径为R，⊙O1的半径为r。连结AF，则AF必过点O、O1。连结OD、O1H,则易证O1H∥OD。所以，AO:AO1=OD:O1H,即AO:(AO-r)=R:r。又点O既是等边三角形ABC的内心又是等边三角形ABC的外心，所以若连结OB，则有AO=OB=2OF=2R。
所以，2R:(2R-r)=R:r,即2R:R=(2R--r):r,所以r=(2/3)R。 过点O1作O1M⊥OD于D，则O1M=DH=３ｃｍ，OM=R-r=(1/3)R,OO1=r=(2/3)R。所以，在直角三角形O1MO中，有[(1/3)R]^2+3^2=[(2/3)R]^2。
解之，得R=3√3。 设⊙O2到DE的距离为d,连结O2A、O2D、O2E，过O2依次作AD、AE、DE的垂直线段O2N、O2K、O2T，N、K、T为垂足,连结AT，则O2N=O2K=x,O2T=d，AT必过O2。由面积关系，可得x*AD+x*AE+d*DE=AT*DE(当O2在三角形ADE内时)或x*AD+x*AE =(AT+d)*DE(当O2在三角形ADE外时)。
又AD=AE，∠A=60度，所以三角形ADE是等边三角形。所以，d=AT-2x,或d=2x-AT。 又在直角三角形ADO中，AD=OD*cot∠DAO=R*cot30度=9，即DE=9，在等边三角形ADE中， AT=AD*sin∠ADE=9*sin60度=(9/2)√3,所以，d=2x-(9/2)√3，或d=(9/2)√3-2x。
因为⊙Ｏ２与ＤＥ有交点，所以，x≥d≥0。所以，有 x≥2x-(9/2)√3≥0…………① x≥(9/2)√3-2x≥0…………② 由①得(9/2)√3≥x≥(9/4)√3, 由②得(9/4)√3≥x≥(3/2)√3。 所以，综合起来，就有(9/2)√3≥x≥(3/2)√3。
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答：Ｏ１Ａ切⊙Ｏ２于点Ａ，三角形O1O2A为直角三角形 O1A^2 + O2A^2 = O1O2^2 ==> R^2 + r^2 = (d1 + d2)^2 若: ...详情>>
答：详情>>
