高二两道关于抛物线的数学题
1、抛物线y=2px(p>0)有一内接直角三角形,直角顶点是原点,一直角边的方程为y=2x,斜边长为5√(3),求抛物线的方程. 2、已知:抛物线y^2=4px(p>0)的焦点为F,过F的任一弦|AB|=l,△AOB的面积为S,求证:S^2/l为定值.
1、抛物线y^=2px(p>0)有一内接直角三角形,直角顶点是原点,一直角边的方程为y=2x,斜边长为5√3,求抛物线的方程。 直角顶点是原点,一直角边OA的方程为y=2x --->另一直角边OA的方程为：y=-(1/2)x 分别与抛物线方程联立--->A(p/2,p), B(8p,-4p) |AB|^=(p/2-8p)^+(p+4p)^=(5√3)^--->p^=12/13--->p=2√39/13 --->抛物线的方程: y^=(4√39/13)x 2、已知:抛物线y^=4px(p>0)的焦点为F,过F的任一弦|AB|=L,△AOB的面积为S,求证:S^/L为定值。
过焦点F(p,0)的弦的斜率显然不为0，设其为1/k--->AB方程：ky=x-p 与抛物线方程联立：y^=4px=4p(ky+p)--->y^-4pky-4p^=0 --->yA+yB=4pk,yAyB=-4p^ --->|yA-yB|=√[(yA+yB)^-4yAyB]=√[16p^k^+16p^]=4p√(k^+1) |xA-xB|=|(kyA+p)-(kyB+p)|=|k(yA-yB)| --->L=√[|xA-xB|^+|yA-yB|^]=|yA-yB|√(1+k^) 又：S=(1/2)p|yA-yB| --->S^/L=(p^/4)|yA-yB|/√(k^+1)=(p^/4)(4p)=p^3（定值）。
解1、设y=2x与抛物线交于点A（a,2a),另一直角边y=-x/2与抛物线交于B（2b,-b), 把这两点代入抛物线方程得 4a^2=2ap,b^2=4bp,所以b=8a, 由斜边长为5√(3)和两点间距离公式 有a=（根号下39）/13,所以p=2a, 所以所求抛物线方程为 y^2=4倍(根号39)x/13 2、设AB方程是y=k(x-p),与抛物线解交点得ky^2-4py-4kp^2=0, 由|AB|=l,得k^2=(1+k^2)4p *, 设A点（x1,y1),B(x2,y2),则△AOB的面积为S=p|y1-y2|, S^2=(p^2/4)[(y1+y2)^2-4y1y2]=4p^4(1+k^2)/k^2 把*代入得s^2/1=s^2=p^3.所以为定值 但你的题目可能是求1/s^2,如是这样的话，则1/s^2=1/p^3,也为定值.
答：解：两条直角边都是和斜边成45度的角, 斜边所在直线的方程是3x-y+5=0,斜率是3, 设直角边的斜率为k,根据两条直线的夹角公式可得： |k-3|/|1+3...详情>>
